Параметрично уравнение - 24.03.2018 г.

[S.B.]

Дадено е уравнението:
[tex]x^{2}[/tex] + 2(а + 1)х + 4а =0,където а е реален параметър,а [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] са корените му.
а)да се реши уравнението за а= 1 + IyI, където y = [tex]\lim_{x \to 1}( \frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^{3}})[/tex];
б)да се определят стойностите на "а" ,за които [tex]x_{1 }^{2}[/tex] + [tex]x_{2 }^{2}[/tex] > 16 - 8а

[Петър Евгениев]

Ясно е, че първо трябва да се опрости(трансформира) границата, тъй като не можем да заместим направо 1, защото става недефинирано (0 в знаменател).
След не трудно "нагаждане" на израза в границата:
$$\lim_{x \to 1}(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}})=\lim_{x \to 1}(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{(1-x)(1+x+x^{2})})=\lim_{x \to 1}(\frac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(x^{2}+x+1)})$$
$$\Rightarrow \lim_{x \to 1}(\frac{-\cancel{(1-x)}(x+2)}{\cancel{(1-x)}(x^{2}+x+1)})=\lim_{x \to 1}(\frac{-x-2}{x^{2}+x+1})=\frac{-1-2}{1+1+1}=-1$$
[tex]\Rightarrow y=-1[/tex], но [tex]a=1+|y|[/tex], тогава [tex]a=1+|-1|=2[/tex], тогава исканото квадратно уравнение е:
[tex]x^{2}+6x+8=0[/tex], [tex]x_{1}=-2[/tex] и [tex]x_{2}=-4[/tex]

[Петър Евгениев]

За второто: [tex]x_{1}^{2}+x^{2}>16-8a[/tex], трябва да изразим сбора от квадратите на корените чрез формулите на Виет.
Знаем ,че:[tex]x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a} |^{2} \Rightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}-2x_{1}x_{2}[/tex], но [tex]x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}[/tex]
[tex]\Rightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}-2\frac{c}{a}=\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}[/tex]
[tex]x^{2}+2(a+1)x+4a=0 \Rightarrow a^{2}+2a-3>0 \Rightarrow \boxed{a\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)}[/tex]
edit:лека грешка имах по навик бях направил [tex]b^{2}-4ac[/tex], вмсто [tex]b^{2}-2ac[/tex]

[S.B.]

Отговор: а[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex];-3)[tex]\cup[/tex](1;+[tex]\infty[/tex])