Показателно уравнение

[Петър Евгениев]

[tex]\sqrt{4^{x}-4}=2^{x}-a[/tex], понеже има параметър хем докарвам отговора хем не(спрямо параметъра)
ДС:[tex]x\ge1[/tex] и [tex]x\ge log_{2} a[/tex]
$$4x-4=2^{2x}-2a.2^{x}+a^{2} \Rightarrow \cancel{2^{x}2^{x}}-4=\cancel{2^{x}2^{x}}-2a2^{x}+a^{2}$$
[tex]2a2^{x}-4=a^{2}[/tex], делия на [tex]a\ne0[/tex]
$$\frac{2\cancel{a}2^{x}}{\cancel{a}}-\frac{4}{a}=\frac{a^{\cancel{2}}}{\cancel{a}}$$
$$2.2^{x}=\frac{a^{2}+4}{a} \Rightarrow 2^{x}=\frac{a^{2}+4}{2a}$$
[tex]\Leftrightarrow x=log_{2} (\frac{a^{2}+4}{2a})[/tex]
Сега отговора е [tex]x=log_{2} (\frac{a^{2}+4}{2a}) a\in(0;2][/tex] и няма решение при [tex]a\notin(0;2][/tex] Откъде идва интервала на а?

[123a]

След като си намерил решението за х, трябва да се върнеш в ДМ и да заместиш и да направиш изводите. Ако а принадлежи в интервала, в който решението принадлежи на ДМ, значи е решение. Ако не принадлежи- няма решение.

[Hephaestus]

Получаваш [tex]x = log_{2 }(\frac{a^{2} + 4}{2a})[/tex], което има смисъл при [tex]\frac{a^{2} + 4}{2a} > 0[/tex], и в ДС имаш [tex]x \ge 1[/tex] и също така [tex]x \ge log_{2 }a[/tex], следователно трябва [tex]\frac{a^{2} + 4}{2a} \ge 1[/tex] и [tex]log_{2 }(\frac{a^{2} + 4}{2a}) \ge log_{2 }a[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \frac{a^{2} + 4}{2a} > 0 (1) \\ \frac{a^{2} + 4}{2a} \ge 1 (2) \\ log_{2 }(\frac{a^{2} + 4}{2a}) \ge log_{2 }a (3) \end{array}[/tex]

Решенията на (1) и (2) са едни и същи, което може да се запише общо: [tex]a \in (0; +\infty)[/tex], а на (3) е [tex]a \in (-\infty ; -2] \cup (0; 2][/tex] и като ги засечем получаваме окончателно [tex]a \in (0; 2][/tex]
Извън този интервал за a или получената стойност на x няма да има смисъл, или няма да са изпълнени ДС, т.е. уравнението няма да има решение при [tex]a \notin (0; 2][/tex].

[S.B.]

Ето и моето решение:[tex]\sqrt{4^{х} - 4}[/tex] = [tex]2^{х}[/tex] - а
Нека [tex]2^{х}[/tex] = t > 0
[tex]\sqrt{t^{2} - 4}[/tex] = t - a ; ДМ:[tex]t^{2}[/tex] - 4 [tex]\ge[/tex]0 [tex]\Rightarrow[/tex](t + 2)(t - 2)[tex]\ge[/tex]0 от където като комбинирам с t>0 [tex]\Rightarrow[/tex] t[tex]\in[/tex][2;+[tex]\infty[/tex]) , a от t - a[tex]\ge[/tex]0 [tex]\rightarrow[/tex] a[tex]\le[/tex]t
[tex]\sqrt{t^{2} - 4}[/tex] = t - a[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]t^{2}[/tex] - 4 = [tex]t^{2}[/tex] - 2at + [tex]a^{2}[/tex] или t= [tex]\frac{a^{2} + 4}{2a}[/tex] >0 от където 2а>0 и следователно а>0
От t[tex]\in[/tex][2,+[tex]\infty[/tex]) [tex]\cup[/tex]a[tex]\le[/tex]t [tex]\cup[/tex]a>0 [tex]\Rightarrow[/tex] a[tex]\in[/tex](0,2]
t = [tex]\frac{a^{2} + 4}{2a}[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]2^{x}[/tex] = [tex]\frac{a^{2} + 4}{2a}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] x = [tex]log_{2 }[/tex][tex]\frac{a^{2} + 4}{2a}[/tex] за а[tex]\in[/tex](0;2]