Показателно параметрично уравнение

[S.B.]

Дадено е уравнението :
[tex]2^{2х + 1}[/tex] - 9а.[tex]2^{х}[/tex] + 11[tex]а^{2}[/tex] - 7а = 0 ,където "а" е реален параметър.
Да се определят стойностите на "а" ,за които корените на уравнението [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] имат различни знаци.

[123a]

$2^x=y$.

$2y^2-9ay+11a^2-7a=0$

За да е изпълнено условието на задачата, трябва $0<y_1<1<y_2$

Имаме системата

[tex]\begin{cases} f(0) > 0 \\ f(1) < 0\\D>0\\ -\frac{b}{2a}>0\end{cases}[/tex] $\Leftrightarrow$ $\begin{cases} 11a^2-7a > 0 \\11a^2-16a+2 < 0 \\7a^2-56a<0\\a>0\end{cases}$

$\begin{cases} a\in (-\infty;0)\cup(\frac{7}{11};+\infty)\\ a\in(\frac{8-\sqrt{42}}{11};\frac{8+\sqrt{42}}{11})\\a\in(0;8)\\a>0 \end{cases}$

Ако не съм объркал при засичането,получавам

$a\in(\frac{7}{11};\frac{8+\sqrt{42}}{11})$

[S.B.]

Може и аз да греша,но за 11[tex]а^{2}[/tex] - 16а + 2 < 0 получавам [tex]а_{1 }[/tex] = [tex]\frac{8 - \sqrt{42}}{11}[/tex] [tex]\approx[/tex]0,138 и [tex]а_{2 }[/tex] = [tex]\frac{8 + \sqrt{2}}{11}[/tex][tex]\approx[/tex] 1,316
и тогава 11(а - 0,138)(а - 1,316)<0 получавам,че а[tex]\in[/tex](0,138,1,316) или а[tex]\in[/tex]([tex]\frac{8 -\sqrt{42}}{11}[/tex],[tex]\frac{8 + \sqrt{42}}{11}[/tex]) ,което съвсем обръща резултата.

[123a]

Не знам защо в системата го записах <0,а решението го записах за >0 . Редактирах го.

Значи се получава $a\in(\frac{7}{11};\frac{8+\sqrt{42}}{11})$?

[S.B.]

Не знам защо в системата го записах <0,а решението го записах за >0 . Редактирах го.

Значи се получава $a\in(\frac{7}{11};\frac{8+\sqrt{42}}{11})$?

Постановката на задачата е съвсем правилна и f(1) = 11[tex]a^{2}[/tex] -16a + 2<0 e правилно защото 0< [tex]y_{1 }[/tex]<[tex]y_{2 }[/tex]<1 (не се самообвинявай!) Просто си решил,че [tex]\frac{8 -\sqrt{42}}{11}[/tex]<0 и от там идва грешката в неравенството; Като имаш предвид,че [tex]\frac{7}{11}[/tex][tex]\approx[/tex]0,636 тогава [tex]\frac{8 -\sqrt{42}}{11}[/tex] < [tex]\frac{7}{11}[/tex] < [tex]\frac{8 +\sqrt{42}}{11}[/tex] то наистина решението е: а[tex]\in[/tex]([tex]\frac{7}{11}[/tex];[tex]\frac{8 + \sqrt{42}}{11}[/tex]) ("Умирам" за такива шантави числа! )

[123a]

Знам, че f(1) трабва да е <0. Просто несъзнателно написах решението в отворен интервал и от там се промени крайния отговор