Задачи

[hyulia]

Може ли малко помощ? Благодаря предварително!

[S.B.]

зад.27:Осното сечение на конуса е равнобедрен [tex]\triangle[/tex]АBC,с бедра AC = BC= 3 sm и основа АB;[tex]\angle[/tex]A = [tex]\angle[/tex]B = [tex]\alpha[/tex]; В триъгълника е вписана окръжност (което всъщност е сечението на сферата);По-удобно ми е да работя с тригонометрия:
Синусова теорема :[tex]\frac{AC}{sin\alpha}[/tex] = [tex]\frac{AB}{sinC}[/tex] или[tex]\frac{3}{sin\alpha}[/tex] = [tex]\frac{AB}{sin(180 - 2\alpha)}[/tex] от където AB = [tex]\frac{3sin2\alpha}{sin\alpha}[/tex] = [tex]\frac{6sin\alpha.cos\alpha}{sin\alpha}[/tex]
от където AB = 6cos[tex]\alpha[/tex]; полупериметърът p= [tex]\frac{6 + 6cos\alpha}{2}[/tex] = 3(1 + cos[tex]\alpha[/tex]) = 6[tex]cos^{2}[/tex][tex]\frac{\alpha}{2}[/tex];[tex]S_{ABC }[/tex] = [tex]\frac{AC.AB.sin\alpha}{2}[/tex] =
= [tex]\frac{3.6.cos\alpha.sin\alpha}{2}[/tex] или [tex]S_{ABC }[/tex] = 9sin[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\alpha[/tex] но [tex]S_{ABC }[/tex] = p.R [tex]\Rightarrow[/tex] 9sin[tex]\alpha[/tex]cos[tex]\alpha[/tex] = 6[tex]cos^{2}[/tex][tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] . R от където:
R = [tex]\frac{9sin\alpha.cos\alpha}{6cos^{2}\frac{\alpha}{2}}[/tex] =[tex]\frac{18sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2}.cos\alpha}{6cos^{2}\frac{\alpha}{2}}[/tex] = 3 tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex].cos[tex]\alpha[/tex]

[Hephaestus]

26. Нека ъглополовящата в [tex]\triangle ABC[/tex] е [tex]CL[/tex], а височината - [tex]CH[/tex]. По условие [tex]CH = \sqrt{15} cm, AL = 2 cm, BL = 4 cm.[/tex] От свойството на ъглополовящата [tex]CL \Rightarrow \frac{AC}{BC} = \frac{AL}{BL} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow AC = x, BC = 2x[/tex]

[tex]AB = AL + BL = 6 cm[/tex]. Нека [tex]BH = y \Rightarrow AH = 6 - y[/tex]

От питагоровата теорема, приложена последователно за [tex]\triangle AHC (\angle AHC = 90^\circ)[/tex] и [tex]\triangle BHC (\angle BHC = 90^\circ)[/tex], получаваме системата

[tex]\begin{array}{|l} x^{2} = (6-y)^{2} + 15 \\ 4x^{2} = y^{2} + 15\end{array}[/tex]

[tex]4[(6-y)^{2} + 15] = y^{2} + 15[/tex]
[tex]144 - 48y + 4y^{2} + 60 = y^{2} + 15[/tex]
[tex]3y^{2} - 48y + 189 = 0[/tex]
[tex]D = 2304 - 2268 = 36 \Rightarrow y_{1 } = 7[/tex] и [tex]y_{2 } = 9[/tex]

За [tex]x[/tex] при [tex]y_{2 } = 9[/tex] получаваме [tex]x = 2\sqrt{6}[/tex], което е противоречие с условието, че дължините на страните са цели числа. Следователно [tex]y = 7 \Rightarrow x = 4[/tex] (x е дължина на отсечка) [tex]\Rightarrow AC = 4 cm, BC = 8 cm[/tex].
Тогава дължината на най-дългата страна на триъгълника е [tex]8[/tex] [tex]cm.[/tex]

П.П. Забелязва се, че независимо дали [tex]y = 7[/tex] или [tex]y = 9[/tex], за дължината на [tex]AH[/tex] получаваме отрицателно число. Това се дължи на факта, че всъщност [tex]\triangle ABC[/tex] е тъпоъгълен [tex](8^{2} > 4^{2} + 6^{2})[/tex] и в конкретния случай петата на височината [tex]CH[/tex] не се намира между точките [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex], а лежи на продължението на страната [tex]AB[/tex]. Тези означения съм ги въвел просто за определеност. Разбира се, препоръчително е при такива планиметрични задачи да се направи максимално точен чертеж преди постъпване към решението, за да се избегнат такива случаи на отрицателни стойности за дължини на отсечки.

[Hephaestus]

30. [tex]x^{3}+(p-3)x^2+(1-3p)x-3 = 0[/tex]
[tex]x^{3} + px^{2} - 3x^{2} + x - 3px - 3 = 0[/tex]
[tex]x^{3} - 3x^{2} + px^{2} - 3px + x - 3 = 0[/tex]
[tex]x^{2}(x - 3) + px(x - 3) + 1(x - 3) = 0[/tex]
[tex](x - 3)(x^{2} + px + 1) = 0[/tex]

Тоест [tex]x = 3[/tex] е винаги корен на това уравнение. Искаме той да е единствен, следователно вторият множител не трябва да има реални корени, което е изпълнено само при отрицателна дискриминанта [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]x^{2} + px + 1 = 0 \Rightarrow D = p^{2} - 4 < 0 \Rightarrow (p-2)(p+2) < 0 \Rightarrow p \in (-2; 2).[/tex]

[inveidar]

30. [tex]x^{3}+(p-3)x^2+(1-3p)x-3 = 0[/tex]
[tex]x^{3} + px^{2} - 3x^{2} + x - 3px - 3 = 0[/tex]
[tex]x^{3} - 3x^{2} + px^{2} - 3px + x - 3 = 0[/tex]
[tex]x^{2}(x - 3) + px(x - 3) + 1(x - 3) = 0[/tex]
[tex](x - 3)(x^{2} + px + 1) = 0[/tex]

Тоест [tex]x = 3[/tex] е винаги корен на това уравнение. Искаме той да е единствен, следователно вторият множител не трябва да има реални корени, което е изпълнено само при отрицателна дискриминанта [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]x^{2} + px + 1 = 0 \Rightarrow D = p^{2} - 4 < 0 \Rightarrow (p-2)(p+2) < 0 \Rightarrow p \in (-2; 2).[/tex]

Тук има възможност да се тълкува и по друг начин. Квадратното уравнение кога има единствено решение? Единствено решение означава ли един двоен корен? Единствено решение съвпада ли с това ТОЧНО ЕДНО ЧИСЛО ДА Е РЕШЕНИЕ?

[inveidar]

Искам да кажа, че би трябвало да проверим дали е възможно и квадратния тричлен да има точно една нула и тя да е x=3. В противен случай решението е непълно.