Задачи от ТУ

[Lena]

\frac{a}{b}Може ли да ми помогнете с тези задачи. Благодаря ви предварително
отг:
23 6
30 с призмата 64b^{3} корен от котангенс на квадрат "фи"-1
28: а[tex]\in[/tex] (0; \frac{1}{4} )
30 с функцията а1= -\frac{2}{5} , а2= -2
24. { -\frac{3}{2} ; \frac{3}{2} }

[Петър Евгениев]

24. [tex]2(\frac{1}{6})^{2x}-4(\frac{1}{6})^{x}<70[/tex] Нека [tex](\frac{1}{6})^{x}=t>0[/tex], защото всяко положително число повгиднато на някаква степен винаги е положително
[tex]2(\frac{1}{6})^{x}(\frac{1}{6})^{x}-4(\frac{1}{6})^{x}<70 \Rightarrow 2t^{2}-4t-70<0[/tex], нядявам се да можеш да решиш това неравенство за [tex]t[/tex], оставям да го решиш, ако имаш въпроси пиши
Решаваме го това [tex]2t^{2}-4t-70<0[/tex] и получаваме [tex]t\in(-5;7)[/tex],сега обаче не сме готови, защото решваме за хикс , а полгането и респективно [tex]t[/tex] е просто начина, по който ще решим за хикс
[tex](\frac{1}{6})^{x}=t\in(-5;7) \Rightarrow -5<(\frac{1}{6})^{x}<7[/tex](Ако не е ясно защо, просто го прочети на глас и логически се опитай да разбереш, ако не питай пак)
Сега трябва да решим [tex]\begin{array}{|l} -5<(\frac{1}{6})^{x} \\(\frac{1}{6})^{x}<7 \end{array}[/tex]
Първото е валидно за всяко хикс,защото ще се самоцитирам "защото всяко положително число повгиднато на някаква степен винаги е положително"
А второто: [tex](\frac{1}{6})^{x}<7 |\Rightarrow 6^{-x}<7 |log_{6} \Rightarrow log_{6} 6^{-x}<log_{6} 7 \Rightarrow -x<log_{6} 7 \Rightarrow \boxed{x>-log_{6} 7}[/tex]
Питай, ако не е ясно някъде!

[S.B.]

Зад.30:f(x) = [tex]x^{2}[/tex] - (3a +2)x + [tex]a^{2}[/tex]
Първата производна е :f '(x) = 2x -(3a + 2) Съществува локален екстремум за х за който f '(x) =0
2х -( 3а +2) =0 от където х=[tex]\frac{3а + 2}{2}[/tex] следователно за х = [tex]\frac{3а + 2}{2}[/tex] има локален екстремум
По условие [tex]f_{extr }[/tex] = 0 следователно [tex](\frac{3a + 2}{2})^{2}[/tex] - (3a + 2).([tex]\frac{3a + 2}{2}[/tex]) + [tex]a^{2}[/tex] = 0
[tex]\frac{(3a + 2)^{2}}{4}[/tex] - [tex]\frac{(3a + 2)^{2}}{2}[/tex] + [tex]a^{2}[/tex] = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex](3a + 2)^{2}[/tex] - 2[tex](3a + 2)^{2}[/tex] + 4[tex]a^{2}[/tex] = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 4[tex]a^{2}[/tex] - [tex](3a + 2)^{2}[/tex] = 0 или
(2а + 3а + 2)(2а - 3а - 2)= 0 от където (5а + 2)(-а -1) = 0
5а + 2 = 0 [tex]\Rightarrow[/tex][tex]а_{1 }[/tex] = -[tex]\frac{2}{5}[/tex]
-а-1 = 0 [tex]\Rightarrow[/tex][tex]а_{2 }[/tex] = -1

[Петър Евгениев]

28. [tex]f(x)=\frac{1}{x^{2}-4ax+a}[/tex], при какви стойности на параметъра [tex]a[/tex] функцията е дефинирана за всяко [tex]x[/tex]
Функцията е дефинирана когато знаменателя не е нула.
[tex]x^{2}-4ax+a\ne0[/tex], демек когато няма решение това нещо, кога няма решение? Когато [tex]D<0[/tex]
$$D=16a^{2}-4a<0 \Rightarrow 4a(4a-1)<0 \Rightarrow \boxed{a\in(0;\frac{1}{4})}$$

[S.B.]

Зад.23: [tex]sin^{2}[/tex]6x + [tex]cos^{2}[/tex]4x = 1 използвам формулите за понижаване на степента и получавам:
[tex]\frac{1 - cos12x}{2}[/tex] + [tex]\frac{1 - cos8x}{2}[/tex] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 1 -cos12x + 1 -cos8x =2 или cos12x + cos8x = 0
2cos[tex]\frac{12x + 8x}{2}[/tex]cos[tex]\frac{12x - 8x}{2}[/tex] = 0 от където следва :
cos10x.cos2x = 0 От тук получаваме : cos10x = 0 и cos2x = 0 ;
1) cos10x = 0 [tex]\rightarrow[/tex] 10x=[tex]\begin{array}{|l} \alpha_{0 } + 2k\pi\\ -\alpha_{0 } + 2k\pi \end{array}[/tex] ,където [tex]\alpha_{0 }[/tex] = [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] (тъй като cos[tex]\frac{\pi}{2}[/tex] = 0)
10x = [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] , от където след преработка се получава : x = [tex]\frac{\pi}{20}[/tex](1 + 4к) (1 сл.)
10х = -[tex]\frac{\pi}{2}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] , и отново след преработка се получава : х = [tex]\frac{\pi}{20}[/tex](4k - 1) (2 сл.)
Интервала в който търсим броя на решенията е [[tex]\frac{\pi}{4}[/tex] ; [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex]] който е равносилен на [[tex]\frac{5\pi}{20}[/tex] ; [tex]\frac{15\pi}{20}[/tex]]
От (1 сл.) за k= 1,2,3 получаваме решенията [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]\frac{5\pi}{20}[/tex],[tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{9\pi}{20}[/tex] и [tex]x_{3 }[/tex] = [tex]\frac{13\pi}{20}[/tex];
От (2 сл.) за k=2.3.4 получаваме решенията : [tex]x_{4 }[/tex] = [tex]\frac{7\pi}{20}[/tex] , [tex]x_{5 }[/tex] = [tex]\frac{11\pi}{20}[/tex] и [tex]x_{6 }[/tex] = [tex]\frac{15\pi}{20}[/tex] ;
2) cos2x = 0 [tex]\rightarrow[/tex] 2x = [tex]\begin{array}{|l} \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \end{array}[/tex]
2x = [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] от където след преработка се получава : х = [tex]\frac{\pi}{4}[/tex](1 + 4k) ,които са извън [[tex]\frac{\pi}{4}[/tex] ; [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex]]
2x = - [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] от където след преработка се получава : х = [tex]\frac{\pi}{4}[/tex](4k - 1) ,който има само едно попадение в интервала:
за k=1 х = [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex], което съвпада с [tex]x_{6 }[/tex] = [tex]\frac{15\pi}{20}[/tex] = [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex]
Окончателно корените са 6

[Lena]

Зад.23: [tex]sin^{2}[/tex]6x + [tex]cos^{2}[/tex]4x = 1 използвам формулите за понижаване на степента и получавам:
[tex]\frac{1 - cos12x}{2}[/tex] + [tex]\frac{1 - cos8x}{2}[/tex] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 1 -cos12x + 1 -cos8x =2 или cos12x + cos8x = 0
2cos[tex]\frac{12x + 8x}{2}[/tex]cos[tex]\frac{12x - 8x}{2}[/tex] = 0 от където следва :
cos10x.cos2x = 0 От тук получаваме : cos10x = 0 и cos2x = 0 ;
1) cos10x = 0 [tex]\rightarrow[/tex] 10x=[tex]\begin{array}{|l} \alpha_{0 } + 2k\pi\\ -\alpha_{0 } + 2k\pi \end{array}[/tex] ,където [tex]\alpha_{0 }[/tex] = [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] (тъй като cos[tex]\frac{\pi}{2}[/tex] = 0)
10x = [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] , от където след преработка се получава : x = [tex]\frac{\pi}{20}[/tex](1 + 4к) (1 сл.)
10х = -[tex]\frac{\pi}{2}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] , и отново след преработка се получава : х = [tex]\frac{\pi}{20}[/tex](4k - 1) (2 сл.)
Интервала в който търсим броя на решенията е [[tex]\frac{\pi}{4}[/tex] ; [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex]] който е равносилен на [[tex]\frac{5\pi}{20}[/tex] ; [tex]\frac{15\pi}{20}[/tex]]
От (1 сл.) за k= 1,2,3 получаваме решенията [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]\frac{5\pi}{20}[/tex],[tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{9\pi}{20}[/tex] и [tex]x_{3 }[/tex] = [tex]\frac{13\pi}{20}[/tex];
От (2 сл.) за k=2.3.4 получаваме решенията : [tex]x_{4 }[/tex] = [tex]\frac{7\pi}{20}[/tex] , [tex]x_{5 }[/tex] = [tex]\frac{11\pi}{20}[/tex] и [tex]x_{6 }[/tex] = [tex]\frac{15\pi}{20}[/tex] ;
2) cos2x = 0 [tex]\rightarrow[/tex] 2x = [tex]\begin{array}{|l} \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \end{array}[/tex]
2x = [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] от където след преработка се получава : х = [tex]\frac{\pi}{4}[/tex](1 + 4k) ,които са извън [[tex]\frac{\pi}{4}[/tex] ; [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex]]
2x = - [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] от където след преработка се получава : х = [tex]\frac{\pi}{4}[/tex](4k - 1) ,който има само едно попадение в интервала:
за k=1 х = [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex], което съвпада с [tex]x_{6 }[/tex] = [tex]\frac{15\pi}{20}[/tex] = [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex]
Окончателно корените са 6

Може ли само да попитам по какъв начин избираш k= 1, 2, 3 и после K=2,3,4

[S.B.]

Знаеш ,че на едно от основните тригонометрични уравнения cosx = a , където IaI[tex]\le[/tex]1 и х[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex], +[tex]\infty[/tex])
корените са х = [tex]\begin{array}{|l} \alpha_{0 } + 2k\pi \\ - \alpha_{0 } + 2k\pi \end{array}[/tex] , като k[tex]\in[/tex]Z ,a Z e множеството на целите числа.Получават се след преработка 2 случая:
х = [tex]\frac{\pi}{20}[/tex](1 + 4k) и х = [tex]\frac{\pi}{20}[/tex](4k - 1)
Интервала ,на който трябва да принадлежат решенията е [[tex]\frac{\pi}{4}[/tex];[tex]\frac{3\pi}{4}[/tex]],но аз,за да разбереш по-добре като се съобразих с отговора го преобразувах в [[tex]\frac{5\pi}{20}[/tex];[tex]\frac{15\pi}{20}[/tex]];Избирам първото цяло число k=1 за да видя къде ще попадне отговора и получавам [tex]\frac{\pi}{20}[/tex](1 + 4.1) = [tex]\frac{\pi}{20}[/tex].5 = [tex]\frac{5\pi}{20}[/tex] т.е. попада точно на долната граница на интервала;После избирам 2,3 и пак попада в интервала.Пробвам с k=4 : x = [tex]\frac{\pi}{20}[/tex](1 + 4.4)=[tex]\frac{17\pi}{20}[/tex]което е по-голямо от [tex]\frac{15\pi}{20}[/tex] и явно не е корен;
х = [tex]\frac{\pi}{20}[/tex](4k -1) За k=1 получаваш х = [tex]\frac{\pi}{20}[/tex](4.1 - 1) = [tex]\frac{3\pi}{20}[/tex] <[tex]\frac{5\pi}{20}[/tex] значи е преди интевала на който трбва да принадлежи и.н. Така е защото "броиш" корените,които не се повтарят в този интервал.Ако се искаше просто решението - тогава се дава само например х = [tex]\frac{\pi}{20}[/tex](1 + 4k) и т.н...Вярвам че си разбрала.