Задачи от кандидатстудентски изпити

[Danail]

Бихте ли ми показали методът на решаване на тези задачи
19в

[Петър Евгениев]

30. [tex](x-8)(x^{2}+2px+64)=0[/tex], при какви стойности на параметъра [tex]p[/tex], уравнението има един реален корен?
[tex]x=8[/tex] или [tex]x^{2}+2px+64=0[/tex], тъй като [tex]x=8[/tex] е със сигурност корен, то той трябва да си остане единствен , значи [tex]x^{2}+2px+64=0[/tex] трябва да няма реални корени , т.е [tex]D<0[/tex].
[tex]D=(2p)^{2}-4.64=4p^{2}-256[/tex], сега трябва да решим неравенство за този параметър([tex]D<0[/tex],но [tex]D=4p^{2}-256<0[/tex]
$$4p^{2}-384<0 \Rightarrow 4p^{2}<256 \Rightarrow p^{2}<64$$
[tex]p^{2}=64 \Rightarrow \sqrt{p^{2}}=\sqrt{64} \Leftrightarrow |p|=8 \Rightarrow p=\pm 8[/tex], нанасяме в/у числовата ос и правим метода на интервалите.
[tex]p\in (-8;8)[/tex]

[Knowledge Greedy]

19.
Отношението на обемите на подобни тела е както третата степен на коефициента на подобие.
[tex]\left ( \frac{1}{2}\right )^3=\frac{1}{8}[/tex]
Но това [tex]1:8[/tex] е отношението на обема на горната част на пирамидата към обема на цялата пирамида.
Следователно сечението дели пирамидата на две части с отношение на обемите [tex]1:7[/tex].

[KOPMOPAH]

Данаиле, щом си я докарал дотам да решаваш кандидатстудентски задачи, трябва да си наясно, че методът не е само един. Към всяка задача се подхожда индивидуално

Например, за другата $30$-та задача трябва да съобразиш, че една функция има екстремум в някоя точка (в случая $x=-1$), когато в тази точка първата ѝ производна е равна на $0$. Намираме $f'(x) =2ax+b$, приравняваме на $0$ и ето го първото уравнение от системата.
Второто уравнение ще намерим от условието $f(-1)=2$
Системата става $\begin{array}{|l} 2a.(-1)+b= 0\\ a+b+8=2\end{array}$
Решаваш и си готов!

[Nathi123]

30. зад. [tex]f(x) = ax^{2}+bx+8; f(-1)=2=a-b+8\Rightarrow a=b-6 .[/tex] Екстремална стойност се достига за х координатата на върха на параболата, която е графика на разглежданата функция т.е. при [tex]-\frac{b}{2a}= -1 \Leftrightarrow b=2a \Leftrightarrow a=6; b=12 .[/tex]

За другата 30 задача ако се иска едно различно решение ( т.е. един трикратен корен ) се получава при D=0 [tex]x_{1 }=x_{2 }=8\Leftrightarrow p= - 8[/tex]

[Nathi123]

25.зад. [tex]1+\frac{sinx}{|sinx|}=sin2x[/tex]
1. сл. [tex]x\in [-\frac{\pi}{2},0) ; (sin0=0\Rightarrow x\ne 0 ); \Rightarrow sinx<0 \Rightarrow |sinx|=-sinx\Rightarrow \frac{sinx}{|sinx|}=-1
\Rightarrow 1-1=sin2x\Leftrightarrow sin2x=0\Leftrightarrow 2x=k\pi ; k\in Z \Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{2}[/tex]
и [tex]x\in [-\frac{\pi}{2},0)
\Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}[/tex].
2. сл. [tex]x\in (0,\frac{\pi}{2}]\Rightarrow sinx>0\Rightarrow |sinx|=sinx \Rightarrow \frac{sinx}{|sinx|}=1\Rightarrow 1+1=sin2x \Leftrightarrow
sin2x=2 -[/tex] няма решение,защото |sin2x|[tex]\le 1[/tex].

[Nathi123]

28.зад. Нека [tex]CC_{1 }\bot \alpha \Rightarrow \triangle ABC_{1 }[/tex] е ортогонална проекция на триъг. АВС. Построяваме СН[tex]\bot AB\Rightarrow C_{1 }H\bot AB[/tex] от т-ма за трите перпендикуляра.
От [tex]BCC_{1 }\Rightarrow \frac{CC_{1 }}{BC}=sin \angle(\alpha , BC) = sin\beta ; \triangle ACC_{1 } \Rightarrow \frac{CC_{1 }}{AC}=sin\angle (AC,\alpha) = sin\gamma[/tex]
[tex]\Rightarrow AC=\frac{CC_{1 }}{bsin\gamma} ; BC=\frac{CC_{1 }}{sin\beta}[/tex] .Нека [tex]\varphi = \angle ((A,B,C) ; \alpha ) =\angle CHC_{1 }[/tex]=
От [tex]\triangle CC_{1 }H\Rightarrow sin\varphi =\frac{CC_{1 }}{CH}. 2S_{\triangle ABC } = CB.AC=AB.CH\Rightarrow CH= \frac{AC.BC}{AB}[/tex] (1)
[tex]\triangle ABC[/tex] и Т-ма на Питагор [tex]\Rightarrow AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}\Leftrightarrow AB^{2}= \frac{CC_{1 }^{2}}{sin^{2}\gamma}+\frac{CC_{1 }^{2}}{sin^{2}\beta}[/tex] (2). От (1) и (2) получаваме,че [tex]\frac{CC_{1 }}{CH}=sin\varphi =\sqrt{ sin^{2}\beta + sin^{2} \gamma}[/tex].