Геометрия и стереометрия

[hyulia]

1.В равнобедрения ABC (AC=BC) големината на ъгъл АBC=[tex]\alpha[/tex] , като \alpha < 60 градуса. Симетралата на бедрото BC пресича основата в т. D , като DB= а . Да се намери лицето на триъгълник АDC.

2.Oсновата на пирамида е равнобедрен триъгълник с основа 6 см. и бедро 5 см. Околните стени на пирамидата сключват с основата равни ъгли с големина 45 градуса. Да се намери обемът на пирамидата. отг: 6куб см

[Knowledge Greedy]

Да означим с [tex]M[/tex] средата на страната [tex]BC[/tex].
От определението за косинус в правоъгълния [tex]\triangle MBD[/tex]
[tex]BM=\frac{a}{cos\alpha}[/tex]
Следователно [tex]AC=BC=\frac{2a}{cos\alpha}[/tex]
И тъй като [tex]\angle ACB=180^\circ -2\alpha[/tex],
намираме лицето по формулата [tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.BC. sin \angle ACB[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.BC.sin \angle ACB[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{1}{2} \left ( \frac{2a}{cos\alpha} \right )^2sin (180^\circ -2\alpha)[/tex]
[tex]S_{ABC}=4a^2tg \alpha[/tex]

[Knowledge Greedy]

Задача 2. Тъй като ъглите между околните стени и основата се мерят с линейни (равнинни ъгли), образувани от апотемите и техните проекции върху основата, то при равенство на въпросните ъгли техните тангенси са равни и проекцията на върха на пирамидата е центърът на вписаната окръжност в основата. В случая [tex]tg\varphi = 1[/tex] и се оказва, че височината на пирамидата е равна на радиуса на вписаната в основата окръжност.
Лицето на основата - по херонова формула [tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-b)(p-c)}[/tex]
и т.к. [tex]p=\frac{6+5+5}{2}=8[/tex]
[tex]S_{ocHoBa}=\sqrt{8.2.3.3}=12[/tex]
Друг начин за изразяване на лицето на основата е [tex]S_{ocHoBa}=pr[/tex],
следователно [tex]pr=12 \,\ \Rightarrow \,\ 8r=12 \,\ \Rightarrow \,\ h = r = \frac{12}{8}[/tex]
По формулата за обема
[tex]V=\frac{1}{3}Bh[/tex]
[tex]V= \frac{1}{3}S_{ocHoBa}h = \frac{1}{3}.12.\frac{\cancel {12}^3}{\cancel {8}_2}=6[/tex]