Конкурсен изпит , СУ 14.07.1999 г.задача 2

[S.B.]

В изпъкналия четриъгълник ABCD диагоналът AC има дължина [tex]\sqrt{5}[/tex] и [tex]\angle[/tex]BAC = [tex]\angle[/tex]DAC, a мерките на ъглите му са решения на уравнението:
25 cos3x + 39 cosx = 0 ,като [tex]\angle[/tex]DAB < [tex]\angle[/tex]ABC < [tex]\angle[/tex]BCD.
a) Да се намери лицето на четриъгълника ABCD;
б) Точките M , N , P и Q лежат съответно върху страните AB , CD и DA, като MQ II BD II NP и АМ = k.AB, k[tex]\in[/tex](0;1),
CN = x.CB , x [tex]\in[/tex](0;1].Да се изрази лицето на четриъгълника MNPQ като функция на х и да се намери най-голямата му стойност.

[Davids]

а) лицето е 2
б) максималното лице се постига при $x = 1$, $k = \frac{1}{2}$ и е $S_{max} = \frac{5}{2}$.
В момента пътувам, ще разпиша задачата по-късно следобед. Хареса ми много

[123a]

А)
$cosx=0;cosx=\pm\frac{3}{5}$
[tex]\angle[/tex]$ABC=90$ , $\angle$$BCD$$>$$\angle$$ABC$=> $\angle$$BCD$$\in(90;180)$=>$cos(BCD)=-\frac{3}{5}$
$cos(\frac{BCD}{2})=\frac{2\sqrt{5}}{5}=>BC=2;AB=1$

AC-ъглополовяща=>$\triangle$ $ABD$- равнобедрен и $\triangle$$ABC$$\cong$$\triangle$$ADC$

От тук $S_{ABCD}=2S_{ABC}=2.1=2$

[S.B.]

Отговорите са:а) S=2; б) за k[tex]\in[/tex] (0;[tex]\frac{3}{5}[/tex]) най- голямо S = -[tex]\frac{8}{5}[/tex][tex]k^{2}[/tex] + [tex]\frac{8}{5}[/tex] , за k[tex]\in[/tex][[tex]\frac{3}{5}[/tex];1) най голямо S= [tex]\frac{9}{10}[/tex][tex]k^{2}[/tex] - 3k + [tex]\frac{5}{2}[/tex];

[S.B.]

А)
$cosx=0;cosx=\pm\frac{3}{5}$
[tex]\angle[/tex]$ABC=90$ , $\angle$$BCD$$>$$\angle$$ABC$=> $\angle$$BCD$$\in(90;180)$=>$cos(BCD)=-\frac{3}{5}$
$cos(\frac{BCD}{2})=\frac{2\sqrt{5}}{5}=>BC=2;AB=1$

AC-ъглополовяща=>$\triangle$ $ABD$- равнобедрен и $\triangle$$ABC$$\cong$$\triangle$$ADC$

От тук $S_{ABCD}=2S_{ABC}=2.1=2$

"Гвоздеят" на решението на а) е решаването на тригонометричното уравнение и тълкуването на решенията му.Останалото е лесно.

[123a]

Само не разбрах защо в условието имаме и k,и х, а в решенията лицето е изразено чрез k. Явно ще се мисли още. Иначе вярно ли са разпределени косинусите по ъгли?

[S.B.]

Само не разбрах защо в условието имаме и k,и х, а в решенията лицето е изразено чрез k. Явно ще се мисли още. Иначе вярно ли са разпределени косинусите по ъгли?

Като имаш предвид ,че cos e намаляваща функция - изцелил си ги;Колкото до б) търси се най -голямото лице когато х се изменя в интервала (0;1],а не когато k се мени.За k е казано,че k [tex]\in[/tex](0;1)Търси се S(x) и то най голямата му стойност когато х[tex]\in[/tex](0;1]

[S.B.]

а)Изпъкнал четриъгълник ABCD, AC=[tex]\sqrt{5}[/tex],[tex]\angle[/tex]DAC = [tex]\angle[/tex]BAC,[tex]\angle[/tex]DAB < [tex]\angle[/tex]ABC < [tex]\angle[/tex]BCD;
25 cos3x + 39 cosx= 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 25(4[tex]cos^{3}[/tex] - 3cosx) + 39 cosx =0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 100 [tex]cos^{3}[/tex]x - 75 cosx + 39 cosx = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] cosx(100 [tex]cos^{2}[/tex]x -36) = 0
cosx(10cosx - 6)(10cosx + 6) = 0 [tex]\Rightarrow[/tex] cosx=0 ;cosx=[tex]\frac{3}{5}[/tex];cosx = - [tex]\frac{3}{5}[/tex];
[tex]\angle[/tex]DAB < [tex]\angle[/tex]ABC < [tex]\angle[/tex]BCD и понеже cosx e намаляваща функция за х[tex]\in[/tex](0;[tex]\pi[/tex]) то най-малкият ъгъл има най - голям cos :
cos[tex]\angle[/tex]DAB = [tex]\frac{3}{5}[/tex] , cos[tex]\angle[/tex]ABC= [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] , cos[tex]\angle[/tex]BCD = - [tex]\frac{3}{5}[/tex];Четр.ABCD e изпъкнал и [tex]\angle[/tex]А + [tex]\angle[/tex]B + [tex]\angle[/tex]C + [tex]\angle[/tex]D = 2[tex]\pi[/tex]
Ако [tex]\angle[/tex]DAB = [tex]\alpha[/tex] то трите ъгъла са: [tex]\alpha[/tex],[tex]\frac{\pi}{2}[/tex] , [tex]\pi[/tex] - [tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]D = [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] ;
В [tex]\triangle[/tex]АCD [tex]\angle[/tex] CAD = [tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] и cos[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] = [tex]\sqrt{\frac{1 + cos\alpha}{2}}[/tex] = [tex]\sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}}[/tex] = [tex]\frac{2}{\sqrt{5}}[/tex] ; Но cos[tex]\angle[/tex]DAC = [tex]\frac{AD}{AC}[/tex] или [tex]\frac{AD}{\sqrt{5}}[/tex] = [tex]\frac{2}{\sqrt{5}}[/tex] от където AD = 2,a по Питагор CD=1;[tex]S_{ACD }[/tex] = 1 и от [tex]\triangle[/tex]АCD [tex]\cong[/tex] [tex]\triangle[/tex]ABC [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{ABCD }[/tex] = 2

[S.B.]

б)От AB = AD и MQ II BD [tex]\Rightarrow[/tex] AM = MQ и MB = QD; Аналогично CN = CP и BN = DP ; Тогава и [tex]\triangle[/tex]QPD [tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]MBN;
От AM = k.AB получаваме : AM= 2k,MB = AB - AM = 2 - 2k ; От CN = x.CB и BN = BC - CN получаваме : CN = x и BN = 1 - x;
[tex]S_{MNPQ }[/tex] = S(x) = [tex]S_{ABCD }[/tex] - [tex]S_{AMQ }[/tex] - [tex]S_{CPN }[/tex] - [tex]S_{MBN }[/tex] - [tex]S_{QPD }[/tex] = [tex]S_{ABCD }[/tex] - [tex]S_{AMQ }[/tex] - [tex]S_{CPN }[/tex] - 2[tex]S_{MBN }[/tex] =
= 2 - [tex]\frac{AM^{2}.sin\alpha}{2}[/tex] - [tex]\frac{CN^{2}sin(\pi - \alpha)}{2}[/tex] - MB.BN = 2 - [tex]\frac{4k^{2}\frac{4}{5}}{2}[/tex] - [tex]\frac{x^{2}\frac{4}{5}}{2}[/tex] - (2 - 2k)(1 - x) От където получаваме:
S(x) = -[tex]\frac{2}{5}[/tex][tex]x^{2}[/tex] + 2(1 - k)x - [tex]\frac{8}{5}[/tex][tex]k^{2}[/tex]; S'(x) = - [tex]\frac{4}{5}[/tex] x + 2(1 -k); От S'(x) = 0 получаваме [tex]x_{0 }[/tex] = [tex]\frac{5(1 - k)}{2}[/tex] за което би трябвало да съществува екстемум и понеже S"(x) = -[tex]\frac{4}{5}[/tex] < 0,този екстремум трябва да е максимум за х[tex]\in[/tex](0;1] Проверяваме : 0 < [tex]x_{0 }[/tex] [tex]\le[/tex]1:
[tex]\frac{5(1 -k)}{2}[/tex] >0 или [tex]x_{0 }[/tex] > 0 за k < 1 и [tex]\frac{5(1 - k)}{2}[/tex] [tex]\le[/tex]1 ,което е изпълнено за k[tex]\ge[/tex][tex]\frac{3}{5}[/tex] или получихме:
за k[tex]\in[/tex](0;[tex]\frac{3}{5}[/tex]) [tex]x_{0 }[/tex]>1 и за k[tex]\in[/tex][[tex]\frac{3}{5}[/tex];1) [tex]x_{0 }[/tex][tex]\in[/tex](0;1]
за [tex]x_{0 }[/tex] = [tex]\frac{5(1 - k)}{2}[/tex] имаме максимум,когато k[tex]\in[/tex][[tex]\frac{3}{5}[/tex];1) и [tex]S_{max }[/tex]([tex]x_{0 }[/tex]) = [tex]\frac{9}{10}[/tex][tex]k^{2}[/tex] - 3k + [tex]\frac{5}{2}[/tex];
За k(0;[tex]\frac{3}{5}[/tex]) се оказа,че [tex]x_{0 }[/tex] > 1 и не може да приемем максимума на функцията за най -голяма стойност.
И понеже до [tex]x_{0 }[/tex] функцията расте ,то най голямата си стойност за х[tex]\in[/tex](0;1] ще приеме за х = 1 :
Или при k[tex]\in[/tex](0;[tex]\frac{3}{5}[/tex]) [tex]S_{max }[/tex](1) = -[tex]\frac{8}{5}[/tex][tex]k^{2}[/tex] + [tex]\frac{8}{5}[/tex]