Тригонометрично уравнение

[S.B.]

Дадено е уравнението:
[tex]sin^{2}[/tex]x + [tex]sin^{2}[/tex]2x + [tex]sin^{2}[/tex]3x = 2
Да се намерят всички решения в интервала [[tex]\frac{\pi}{2}[/tex] ; [tex]\pi[/tex]]

[Knowledge Greedy]

Прехвърляме отдясно [tex]sin^2x+sin^22x[/tex], а останалият вляво [tex]sin^23x[/tex] представяме като [tex]1-cos^23x[/tex]
Дотук [tex]1-cos^23x = cos^2x+cos^22x[/tex]
Понижаваме степента вдясно и унищожаваме новополучената единица с тази отляво
[tex]\cancel{1}-cos^23x =\cancel{1}+\frac{cos2x+cos4x}{2}[/tex]
С формулата за сбор на косинуси - след съкращаване на [tex]2[/tex] вдясно, получаваме
[tex]-cos^23x =cos3xcosx[/tex]
Оттук нататък е ясно - общ множител, корени. Остава да подберем тези, които са в дадения интервал.
А те са [tex]x_1=\frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]x_2=\frac{5\pi}{6}[/tex]
[tex]x_3=\frac{3\pi}{4}[/tex]

Има и други интерпретации, но (перифразирам Фермá) няма място в полето на времето

[S.B.]

Благодаря за вниманието на Knowledge Greedy!Брилянтно точен и лаконичен както винаги!
А сега за всички, които се интересуват от подробното решение,аз като пенсионер със свободно време ще го разпиша.
[tex]sin^{2}[/tex]x + [tex]sin^{2}[/tex]2x + [tex]sin^{2}[/tex]3x = 2
Прилагам формулата за понижаване на степента :[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{1 - cos2\alpha}{2}[/tex] и получавам:
[tex]\frac{1 - cos2x}{2}[/tex] + [tex]\frac{1 - cos4x}{2}[/tex] + [tex]\frac{1 - cos6x}{2}[/tex] = 2 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 1 - cos2x + 1 - cos4x + 1 - cos6x = 4 [tex]\Leftrightarrow[/tex] cos2x + cos4x + cos6x = - 1
cos2x + cos6x = - (1 +cos4x) [tex]\Leftrightarrow[/tex] cos2x + cos6x = -2[tex]cos^{2}[/tex]2x
За лявата страна прилагам формулата за сбор на косинуси и получавам:
2cos[tex]\frac{2x + 6x}{2}[/tex].cos[tex]\frac{2x - 6x}{2}[/tex] = -2[tex]cos^{2}[/tex]2x [tex]\Leftrightarrow[/tex] cos4x.cos2x + [tex]cos^{2}[/tex]2x = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] cos2x.(cos4x + cos2x) = 0
Прилагам за скобите формулата за сбор на косинуси и окончателно получавам:
2cos2x.cos3x.cosx = 0 от където cosx=0 ; cos2x = 0 ; и cos 3x=0 ;
1) cosx = 0 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] [tex]\in[/tex] [[tex]\frac{\pi}{2}[/tex],[tex]\pi[/tex]]
2) cos2x = 0 [tex]\rightarrow[/tex] [tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex][tex]\in[/tex] [[tex]\frac{\pi}{2}[/tex],[tex]\pi[/tex]]
3) cos3x = 0 [tex]\rightarrow[/tex] [tex]x_{3 }[/tex] = [tex]\frac{5\pi}{6}[/tex][tex]\in[/tex][[tex]\frac{\pi}{2}[/tex],[tex]\pi[/tex]]