Задача 1992 УАСГ

[worstboy]

Основата АВС на триъгълна пирамида ABCS е равнобедрен триъгълник с АС=ВС . Прекарана е ъглополовящата AN (N лежи на BC ), чието продължение пресича описаната около триъгълника АВС окръжност в точката К и SN е височина на пирамидата.През АN e прекарано сечение , успоредно на околния ръб CS, което сключва с основата на пирамидата двустенен ъгъл алфа.Най-голямата страна на това сечение е 2.Нека АN=3NK
а)докажете че триъгълника АВС е равностранен
б)намерете обема на пирамидата

[worstboy]

някой може ли да помогне

[ganka simeonova]

worstboy , такааа. Кажи, кой детайл първоначално не е ясен. Ще ти помогна.

[mkmarinov]

а) От синусова теорема в триъгълници ABN и KNB изразяваш [tex]\frac{AN}{BN}=...; \frac{KN}{BN}=...[/tex]; като функции на ъгъл BAN. Делиш почленно и използваш че AN/KN=3. Решаваш уравнението спрямо sin<BAN (със схемата на Хорнер) и получаваш, че синуса е 1/2. Оттам следва, че <BAN=pi/6, или <BAC=pi/3, откъдето е доказано, че триъгълника е равностранен.

[ganka simeonova]

И едно друго решение, без тригонометия.
Означаваме: [tex]AN=3x; NK=x; AC=BC=b; AB=a; CN=m; NB=n[/tex]

1) От свойството на пресичащи се хорди: [tex]3x^2=mn[/tex]
2) От формулата за дължина на ъглополовящата=> [tex]9x^2=ab-mn[/tex]
Умножаваме първото по 3 и изваждаме. Получаваме:
[tex]ab=4mn[/tex], но [tex]m=\frac{b^2}{ a+b} n=\frac{ab}{a+b }[/tex]
Заместваме и получаваме [tex]a=b[/tex]

[worstboy]

Мерси за помощта

[ganka simeonova]

Така, сега кажи има ли нещо, което те затруднява по стереометричната част? Ако има, казвай.