Триъгълник в който е вписана окръжност

[S.B.]

Даден е [tex]\triangle[/tex]ABC,в който е вписана окръжност. AB=13 см , BC = 10 см и AC = 5 см; Медианата AM (M[tex]\in[/tex]BC) ,пресича окръжността в точки K и L.Да се определи дължината на отсечката KL.

[Davids]

TriygylnikVpisana.png (213.71 KiB) Прегледано 474 пъти

Ползваме означенията на чертежа, но първо ще докажем, защо означените части са равни.
По условие имаме, че $АМ$ е медиана и $BC = 10$, следователно $MC = AC = 5$. От друга страна обаче имаме от свойство на допирателните към окръжност от точка (че са равни), че $CH = CG$, откъдето и $AH = MG = z$. Сега ползваме другото свойство на допирателните, а именно, че $MG^2 = ML.MK$. Но същото важи и за $AH^2 = AK.AL$. Oттам извеждаме, че $AK = ML = y$. А търсената $KL = x$.
Така, това бяха лесните съображения, продължаваме нататък.
Първо съобразяваме веднага, че $AH + BG = AB \Leftrightarrow z + 5 + z = 13 \Rightarrow z = 4$. Сега ползваме гореспоменатото свойство на допирателните и извеждаме, че $z^2 = \boxed{y(y+x) = 16}$
Както казахме, $AM = m_a \Rightarrow m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2.169 + 2.25 - 100} = \frac{1}{2}.12\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. Веднага лесно се вижда, че това всъщност е $2y + x$, следователно $\boxed{2y + x = 6\sqrt{2}}$.
От двете оградени уравнения съставяме система:
[tex]\begin{array}{|l} 2y + x = 6\sqrt{2} \\ y(y+x) = 16 \end{array}[/tex]
Най-лесното решение получаваме, като от първото уравнение изразим $y = \frac{6\sqrt{2} - x}{2}$ и заместваме в долното, получаваме:
$16 = \frac{6\sqrt{2} - x}{2}.(\frac{6\sqrt{2} - x}{2} + x) = \frac{6\sqrt{2} - x}{2}.\frac{6\sqrt{2} + x}{2}$
$\Rightarrow 64 = 72 - x^2$
$x^2 = 8$
$x = 2\sqrt{2}$ е търсената стойност.

[Davids]

П.П.: Дали има начин да докажем, че $AK = KL = LM$ и оттам да намерим отговора или това разделение на три равни части е просто следствие от получената стойност? Аз не можах да намеря по-умен начин да го докажем, но принципно се интересувам дали може да стане и така

[S.B.]

П.П.: Дали има начин да докажем, че $AK = KL = LM$ и оттам да намерим отговора или това разделение на три равни части е просто следствие от получената стойност? Аз не можах да намеря по-умен начин да го докажем, но принципно се интересувам дали може да стане и така

Аз не можах да докажа предварително ,че АК =KL=LM,но предварително доказах,че АК = LM .Моето решение е малко по- просто,но отговора е същия.Поздравлявам те за решението!Днес аз ще разпиша моето решение,тъй като сега съм от телефона.

[S.B.]

Ето и моето решение: (ще ползвам чертежа на Davids,като допълнително ще задам някои точки)
Нека т.Т е допирната точка на окръжността със страната AB.Тогава [tex]AT^{2}[/tex] = AK.(AM - LM)
Трябва да се определят АТ,АМ,АК и LM;
Нека [tex]\angle[/tex]С = [tex]\gamma[/tex]
Намирам AM: За [tex]\triangle[/tex]ABC прилагам косинусова теорема :[tex]АВ^{2}[/tex] = [tex]АС^{2}[/tex] + [tex]ВС^{2}[/tex] - 2.АС.ВС.cos[tex]\gamma[/tex] или [tex]13^{2}[/tex] = [tex]5^{2}[/tex] + [tex]10^{2}[/tex] - 2.5.10.cos[tex]\gamma[/tex] от където cos[tex]\gamma[/tex]= -[tex]\frac{11}{25}[/tex];За [tex]\triangle[/tex]АМС прилагам косинусова теорема:[tex]АМ^{2}[/tex] = 2.[tex]5^{2}[/tex] +2.25.[tex]\frac{11}{25}[/tex] от където АМ = 6[tex]\sqrt{2}[/tex];
Построяван ъглополовящата на [tex]\angle[/tex]С - СQ,като Q[tex]\in[/tex]AB;CQ пресича АМ в т.P.Тъй като [tex]\triangle[/tex]АМС е равнобедрен СP e височина,ъглополовяща и медиана едновременно.Следователно AP = PM,но CP съвпада с диаметъра и СP[tex]\bot[/tex]KL то следва,че КP = PL тогава АК= AP - KP и LM = MP - PL [tex]\rightarrow[/tex] AK = LM = x
и от [tex]AT^{2}[/tex] = AK.(AM - LM) [tex]\rightarrow[/tex] [tex]AT^{2}[/tex] = x(6[tex]\sqrt{2}[/tex] - x)
Tърсим АТ:Ако АТ=y и AH = y ,a HC =GC = 5 -y;тогава BT = BG = 13 - y ;CG + BG = BC или 5 -y + 13 - y = 10 oт където y= 4 или АТ = 4 и получаваме 16 = х(6[tex]\sqrt{2}[/tex] - х) от където :
[tex]x_{1 }[/tex] = 4[tex]\sqrt{2}[/tex] което не е решение тъй като цялата АМ=6[tex]\sqrt{2}[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] = 2[tex]\sqrt{2}[/tex] т.е. АМ = 2.2[tex]\sqrt{2}[/tex] + KL или 6[tex]\sqrt{2}[/tex] = 4[tex]\sqrt{2}[/tex] + KL или окончателно KL= 2[tex]\sqrt{2}[/tex]