Един обикновен трапец

[S.B.]

Да се определи лицето на трапец с диагонали 13см и 15см ако разстоянието между средите на основите е 7 см.

[Davids]

Стандартни означения. Двете среди означаваме с $P \in DC$ и $Q \in AB$. Построяваме $CC_1 || DB$, $C_1 \in AB$ и $CM || PQ$, $M \in AB$.
Тогава получаваме триъгълник $AC_1C$ със страни $AC = 15, CC_1 = 13$ и медиана към третата страна $CM = PQ = 7$ (защо е медиана, се доказва лесно - $AM = AQ + QM = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a + b}{2} = \frac{AC_1}{2}$).
Тогава по формулата за дължина на медината от стри страни намираме третата страна:
$7 = \frac{1}{2}\sqrt{2.15^2 + 2.13^2 - x^2}$
$x^2 = 2.225 + 2.169 - 196 = 592$
$x = 4\sqrt{37}$

Знаем, че лицето на триъгълника $\Delta AC_1C$ е равно на това на трапеца ($S = \frac{a + b}{2}.h$). Сега вече намирането на лицето по три страни става лесно по много начини. Аз лично намирам изящество в Хероновата формула в случая, защото се получава много готино
$p = 14 + 2\sqrt{37}$
$S_{AC_1C} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{(14 + 2\sqrt{37})(14 - 2\sqrt{37})(2\sqrt{37} - 1)(2\sqrt{37} + 1)} = \sqrt{(196 - 4.37)(4.37 - 1)} = \sqrt{48.147} = \sqrt{16.9.49} = 4.3.7 = 84cm^2$

[matst]

Ето още едно решение след решението на Davids.

Нека за определеност диагоналът [tex]BD=13[/tex], [tex]AC=15[/tex] ([tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] са основи).

Построяват се точките [tex]A_1[/tex] и [tex]C_1[/tex] така, че векторите [tex]\overrightarrow {AA_1} =\overrightarrow {CC_1} =\overrightarrow {DB}[/tex]

Получава са успоредник [tex]AA_1C_1C[/tex] със следните свойства
1. страната [tex]AA_1=13[/tex]
2. страната [tex]AC=15[/tex]
3. диагоналът [tex]CA_1=2.7= 14[/tex]
4. лице равно на 2 по лицето на трапеца

Значи лицето [tex]S[/tex] на трапеца е равно на лицето на триъгълник със страни 13,14,15
и по формулата на Херон се изчислява [tex]S=84[/tex].

[S.B.]

Наистина задачата е доста забавна!Ето как я реших аз:
Трапецът е ABCD,AC = 13,BD = 15, M e среда на CD,a N среда на AB,като MN=7;
Подлагам на транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] диагонала DB при която D[tex]\rightarrow[/tex]C и B[tex]\rightarrow[/tex][tex]B_{1 }[/tex];
Подлагам на транслация с вектор [tex]\vec{\frac{DC}{2}}[/tex] отсечката MN ,при която М[tex]\rightarrow[/tex]C и N[tex]\rightarrow[/tex][tex]N_{1 }[/tex]
Получава се [tex]\triangle[/tex][tex]АCB_{1 }[/tex] за който AC = 13 , [tex]CB_{1 }[/tex] = 15,[tex]AB_{1 }[/tex] = AB+CD,
[tex]CN_{1 }[/tex] = 7 е медиана ,защото АN+[tex]NN_{1 }[/tex] = [tex]\frac{AB}{2}[/tex] + [tex]\frac{CD}{2}[/tex] = [tex]\frac{AB + CD}{2}[/tex]
[tex]S_{ABCD }[/tex] = [tex]S_{ACB_{1 } }[/tex];Пoдлагам на симетрия т.C относно т.[tex]N_{1 }[/tex] при която С [tex]\rightarrow[/tex]P, така,че [tex]CN_{1 }[/tex] = [tex]PN_{1 }[/tex] = 7
[tex]S_{CPB_{1 } }[/tex] = [tex]S_{ACB_{1 } }[/tex] защото [tex]\triangle[/tex][tex]ACN_{1 }[/tex][tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]P[tex]N_{1 }[/tex][tex]B_{1 }[/tex] ; [tex]\triangle[/tex][tex]CPB_{1 }[/tex] има страни 13,14, и 15 и по Хероновата формула [tex]S_{CPB_{1 } }[/tex] = 84
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{ABCD }[/tex] = 84 [tex]см^{2}[/tex]