Решете уравнението:

[S.B.]

8sinx.cos3x.sin(60[tex]^\circ[/tex] - x).sin(60[tex]^\circ[/tex] + x) = 1

[Davids]

8sinx.cos3x.sin(60[tex]^\circ[/tex] - x).sin(60[tex]^\circ[/tex] + x) = 1

Със сигурност ли е така даденото? И ако да, със сигурност ли е от кандидатстудентски изпит

[S.B.]

Да,това е условието.Задачата е от курс за подготовка на кандидат студенти от преди около 18 години,когато малкият ми син се подготвяше.

[123a]

Ще напишем уравнението така:

$2.4.sinx.sin(60-x)sin(60+x).cos3x=1$

Да разгледаме $A=4.sinx.sin(60-x)sin(60+x)$

Преобразуваме

$4.sinx.sin(60-x)sin(60+x)$$= 4sinx(sin60cosx−sinxcos60)(sin60cosx+sinxcos60)=$
$
=4sinx(sin^260.cos^2x−sin^2xcos^260)=4sinx.(\frac{3}{4}cos^2x-\frac{1}{4}sin^2x)=$'

$=3sinxcos^2x−sin^3x=3sinx−4sin^3x=sin3x=A$

Тогава имаме $2.cos3x.sin3x=1=>sin6x=1=>6x=\frac{\pi}{2}+2k\pi=>x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}$

[S.B.]

След 123а ще си позволя да представя и моето решение:
8sinx.cos3x.sin(60[tex]^\circ[/tex] - x).sin(60[tex]^\circ[/tex] + x) =1
8.[sinx.cos3x].[sin(60[tex]^\circ[/tex] - x).sin(60[tex]^\circ[/tex] + x)] =1 Ще използвам формулите за преобразуване на произведение в сбор:
8.[tex]\frac{1}{2}[/tex][sin(x + 3x) + sin(x - 3x)].[tex]\frac{1}{2}[/tex][cos(60[tex]^\circ[/tex] - x - 60[tex]^\circ[/tex] - x) - cos(60[tex]^\circ[/tex] - x + 60[tex]^\circ[/tex] + x)] = 1
2.(sin4x - sin2x)[cos(-2x) - cos120[tex]^\circ[/tex]] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 2(sin4x - sin2x)(cos2x - cos120[tex]^\circ[/tex]) = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 2(sin4x - sin2x)(cos2x + [tex]\frac{1}{2}[/tex]) = 1
2(sin4x.cos2x + [tex]\frac{1}{2}[/tex].sin4x - sin2x.cos2x - [tex]\frac{1}{2}[/tex].sin2x) = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 2sin4x.cos2x + sin4x - 2sin2xcos2x - sin2x = 1
2sin4x.cos2x + sin4x - sin4x - sin2x =1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 2sin4x.cos2x - sin2x = 1
Отново ще ползвам формулата за преобразуване на произведение в сбор:
2.[tex]\frac{1}{2}[/tex][sin(4x + 2x) + sin(4x - 2x)] - sin2x = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] sin6x + sin2x - sin2x = 1
от където получавам: sin6x = 1 [tex]\Rightarrow[/tex] 6x = [tex]\begin{array}{|l} \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ - \frac{\pi}{2} + (2k + 1)\pi\end{array}[/tex]
6x = [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] или x = [tex]\frac{\pi}{12}[/tex] + k[tex]\frac{\pi}{3}[/tex] от където [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]\frac{\pi}{12}[/tex](1 + 4к)
6x = -[tex]\frac{\pi}{2}[/tex] + (2k + 1)[tex]\pi[/tex] или x = - [tex]\frac{\pi}{12}[/tex] + (2k +1)[tex]\frac{\pi}{6}[/tex] от където [tex]x_{2 }[/tex] =[tex]\frac{\pi}{12}[/tex](4k + 1)
Окончателно : [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{\pi}{12}[/tex](4k + 1) ,където k е цяло число.

[Davids]

След 123а ще си позволя да представя и моето решение:
8sinx.cos3x.sin(60[tex]^\circ[/tex] - x).sin(60[tex]^\circ[/tex] + x) =1
8.[sinx.cos3x].[sin(60[tex]^\circ[/tex] - x).sin(60[tex]^\circ[/tex] + x)] =1 Ще използвам формулите за преобразуване на произведение в сбор:
8.[tex]\frac{1}{2}[/tex][sin(x + 3x) + sin(x - 3x)].[tex]\frac{1}{2}[/tex][cos(60[tex]^\circ[/tex] - x - 60[tex]^\circ[/tex] - x) - cos(60[tex]^\circ[/tex] - x + 60[tex]^\circ[/tex] + x)] = 1
2.(sin4x - sin2x)[cos(-2x) - cos120[tex]^\circ[/tex]] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 2(sin4x - sin2x)(cos2x - cos120[tex]^\circ[/tex]) = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 2(sin4x - sin2x)(cos2x + [tex]\frac{1}{2}[/tex]) = 1
2(sin4x.cos2x + [tex]\frac{1}{2}[/tex].sin4x - sin2x.cos2x - [tex]\frac{1}{2}[/tex].sin2x) = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 2sin4x.cos2x + sin4x - 2sin2xcos2x - sin2x = 1
2sin4x.cos2x + sin4x - sin4x - sin2x =1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 2sin4x.cos2x - sin2x = 1
Отново ще ползвам формулата за преобразуване на произведение в сбор:
2.[tex]\frac{1}{2}[/tex][sin(4x + 2x) + sin(4x - 2x)] - sin2x = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] sin6x + sin2x - sin2x = 1
от където получавам: sin6x = 1 [tex]\Rightarrow[/tex] 6x = [tex]\begin{array}{|l} \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ - \frac{\pi}{2} + (2k + 1)\pi\end{array}[/tex]
6x = [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] или x = [tex]\frac{\pi}{12}[/tex] + k[tex]\frac{\pi}{3}[/tex] от където [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]\frac{\pi}{12}[/tex](1 + 4к)
6x = -[tex]\frac{\pi}{2}[/tex] + (2k + 1)[tex]\pi[/tex] или x = - [tex]\frac{\pi}{12}[/tex] + (2k +1)[tex]\frac{\pi}{6}[/tex] от където [tex]x_{2 }[/tex] =[tex]\frac{\pi}{12}[/tex](4k + 1)
Окончателно : [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{\pi}{12}[/tex](4k + 1) ,където k е цяло число.

Оф, Боже, какво съм писал грешно през цялото време.... че $cos60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$... мразя ги ей тия случаи на незаподозряна заблуда... Пререших го три пъти и нито един от тях дори не погледнах това дали правилно съм го написал първия път
Та да предложа в този ред на мисли и аз своето решение

$8sinxcos3x.sin(60-x).sin(60+x) = 1$
$8.\frac{1}{2}(sin4x - sin2x).\frac{1}{2}(cos2x + \frac{1}{2}) = 1$
$2(2sin2xcos2x - sin2x)(cos2x + \frac{1}{2}) = 1$
$sin2x(2cos2x - 1)(2cos2x + 1) = 1$
$sin2x(4cos^22x - 1) = 1$
$sin2x(3 - 4sin^22x) = 1$
$4sin^32x - 3sin2x + 1 = 0$
Решения са:
$I) sin2x = -1 \Rightarrow 2x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$
$II) sin2x = \frac{1}{2} \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \cup 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + k\pi \cup x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$

Обаче в момента наистина не виждам кой къде греши, за да се разминават отговорите

[S.B.]

Първите четри реда са О.К.
sin2x(4[tex]cos^{2}[/tex]2x - 1) = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] sin2x[4[tex]cos^{2}[/tex]2x - ([tex]sin^{2}[/tex]2x + [tex]cos^{2}[/tex]2x)] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] sin2x(4[tex]cos^{2}[/tex]2x - [tex]sin^{2}[/tex]2x - [tex]cos^{2}[/tex]2x) = 1 или
sin2x(3[tex]cos^{2}[/tex]2x - [tex]sin^{2}[/tex]2x) = 1 ,а ти си получил sin2x(3 - 4[tex]sin^{2}[/tex]2x) = 1
Опитах се да получа този израз но не можах.Може би си имал нещо предвид?Мисля,че не е случайно.

[Davids]

Първите четри реда са О.К.
sin2x(4[tex]cos^{2}[/tex]2x - 1) = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] sin2x[4[tex]cos^{2}[/tex]2x - ([tex]sin^{2}[/tex]2x + [tex]cos^{2}[/tex]2x)] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] sin2x(4[tex]cos^{2}[/tex]2x - [tex]sin^{2}[/tex]2x - [tex]cos^{2}[/tex]2x) = 1 или
sin2x(3[tex]cos^{2}[/tex]2x - [tex]sin^{2}[/tex]2x) = 1 ,а ти си получил sin2x(3 - 4[tex]sin^{2}[/tex]2x) = 1
Опитах се да получа този израз но не можах.Може би си имал нещо предвид?Мисля,че не е случайно.

$3cos^22x - sin^22x = 3(1-sin^22x) - sin^22x = 3 - 4sin^22x$

[S.B.]

Първите четри реда са О.К.
sin2x(4[tex]cos^{2}[/tex]2x - 1) = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] sin2x[4[tex]cos^{2}[/tex]2x - ([tex]sin^{2}[/tex]2x + [tex]cos^{2}[/tex]2x)] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] sin2x(4[tex]cos^{2}[/tex]2x - [tex]sin^{2}[/tex]2x - [tex]cos^{2}[/tex]2x) = 1 или
sin2x(3[tex]cos^{2}[/tex]2x - [tex]sin^{2}[/tex]2x) = 1 ,а ти си получил sin2x(3 - 4[tex]sin^{2}[/tex]2x) = 1
Опитах се да получа този израз но не можах.Може би си имал нещо предвид?Мисля,че не е случайно.

Разбрах,разбрах,как си го получил и какво имаш предвид

[S.B.]

Не намирам грешка при теб,а и при мен и 123а е чисто!ШАХ!!!

[Davids]

:roll: Не намирам грешка при теб,а и при мен и 123а е чисто!ШАХ!!!

Шах с пешката направо!
Така, със сигурност има нещо гнило, но поне фактът, че не съм единственият ошашавен, е успокояващ

[S.B.]

:roll: Не намирам грешка при теб,а и при мен и 123а е чисто!ШАХ!!!

Шах с пешката направо!
Така, със сигурност има нещо гнило, но поне фактът, че не съм единственият ошашавен, е успокояващ

sin3[tex]\alpha[/tex] = 3sin[tex]\alpha[/tex] - 4[tex]sin^{3}[/tex][tex]\alpha[/tex] - това е формулата за sin oт троен ъгъл,която можеш да получиш като развиеш sin(3[tex]\alpha[/tex]) = sin(2[tex]\alpha[/tex] +[tex]\alpha[/tex]) = ......
Ти получаваш :sin2x(3 -4[tex]sin^{2}[/tex]2x) = 1 или като отвориш скобите получаваш :3sin2x -4[tex]sin^{3}[/tex]2x = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] sin6x = 1
Сега и аз да кажа:Правя го за точката!

[Davids]

А не е ли именно парадоксална еквивалентността на преобразуванията на фона на разминаващите се отговори? Още не мога да си го обясня

[S.B.]

А не е ли именно парадоксална еквивалентността на преобразуванията на фона на разминаващите се отговори? Още не мога да си го обясня

Няма нищо парадоксално.Ти получаваш: 3sin2x - 4[tex]sin^{3}[/tex]2x = 1 ,но на езика на тригонометрията е sin(3.2x) = 1 или sin6x = 1
Няма никакво разминаване.99% от тргонометрията са вече доказани формули.Хайде,върви да спиш,че е късно вече,а още малко и мен ще ме изгонят от блока

[Davids]

А не е ли именно парадоксална еквивалентността на преобразуванията на фона на разминаващите се отговори? Още не мога да си го обясня

Няма нищо парадоксално.Ти получаваш: 3sin2x - 4[tex]sin^{3}[/tex]2x = 1 ,но на езика на тригонометрията е sin(3.2x) = 1 или sin6x = 1
Няма никакво разминаване.99% от тргонометрията са вече доказани формули.Хайде,върви да спиш,че е късно вече,а още малко и мен ще ме изгонят от блока

Ясно де, но ако го доразвием до тричлен от трета степен, излизат други отговори при решаване. Това имам предвид

[Alex98]

отговора на 123а [tex]x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}[/tex] и този на @davids [tex]x=\frac{3\pi}{4}+k\pi\cup x=\frac{\pi}{12}+k\pi \cup x= \frac{5\pi}{12}+k\pi[/tex] са абсолютно еднакви, а това че не може да го различите не говори много добре

[S.B.]

отговора на 123а [tex]x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}[/tex] и този на @davids [tex]x=\frac{3\pi}{4}+k\pi\cup x=\frac{\pi}{12}+k\pi \cup x= \frac{5\pi}{12}+k\pi[/tex] са абсолютно еднакви, а това че не може да го различите не говори много добре

Моят отговор е x = [tex]\frac{\pi}{12}[/tex](4k +1) = [tex]\frac{\pi}{12}[/tex]4k + [tex]\frac{\pi}{12}[/tex] =[tex]\frac{k\pi}{3}[/tex] + [tex]\frac{\pi}{12}[/tex], a на 123а е x = [tex]\frac{\pi}{12}[/tex] + [tex]\frac{k\pi}{3}[/tex]
Жалко е за Вас, щом различавате x = [tex]\frac{\pi}{12}[/tex](4k +1) от x = [tex]\frac{\pi}{12}[/tex] + [tex]\frac{k\pi}{3}[/tex]

[Alex98]

И къде в поста ми съзря , че ги различавам?
Явно си поредния хейтър , който пише преди да е прочел.Аман от "специалисти"......
А поста ми беше насочен към @Davids , като разяснение за различно изглеждащите отговори, неговия и този на @123а.Но явно гузен и недооценен @S.B. се почуства засегнат .