Пирамида

[ABC/2]

Здравейте!
Затруднявам се с чертежа и решението на следната задача:
"Основата на пирамида е квадрат. Две от околните и стени са перпендикулярни на основата и, а другите две сключват с нея ъгъл [tex]\alpha[/tex].
Да се намери обемът на пирамидата, ако радиуса на описаната около коя да е от наклонените околни стени окръжност е R.

Ще бъда благодарен, ако някой помогне.
Поздрави!

[Davids]

PiramidaPerpendikulqrniSteni.png (30.6 KiB) Прегледано 398 пъти

Обемът на пирамидата е равен на $V = \frac{B.h}{3} = \frac{a^2h}{3}$
Следователно ще искаме да изразим $a^2$ и $h$ чрез $R$.
Понеже равнините $ABCD$ и $ABG$ са перпендикулярни, то $AG \bot AD$ и оттам околната стена $ADG$ е правоъгълен триъгълник и радиусът на описаната около него окръжност (т.е. даденото ни $R$) е равен на половината от хипотенузата, т.е. $DG = 2R$, както съм означил и на чертежа. За височината е ясно, че $h = BG$, а даденият ъгъл между двете равнини е равен на $\angle BAG = \alpha$.

От правоъгълния $\Delta DBG$ по Питагорова теорема имаме $4R^2 = 2a^2 + h^2$. Обаче в $\Delta ABG$ по дефиницията за тангенс можем да изразим $h = atg\alpha$, следователно изразяваме:
$4R^2 = 2a^2 + a^2tg^2\alpha = a^2(2 + tg^2\alpha)$
$\Rightarrow a = \frac{2R}{\sqrt{tg^2\alpha + 2}}$
А оттам и $h = tg\alpha.a = \frac{2Rtg\alpha}{\sqrt{tg^2\alpha + 2}}$

Окончателно обемът е:
$V = \frac{a^2h}{3} = \frac{4R^2}{tg^2\alpha + 2}.\frac{2Rtg\alpha}{3\sqrt{tg^2\alpha + 2}} = \frac{8R^3tg\alpha\sqrt{tg^2\alpha + 2}}{3(tg^2\alpha + 2)^2}$

И някак си повече не можах да го съкратя Надявам се няма изчислителни грешки...

[ABC/2]

Благодаря ти много Davids! Нека да ти се върне добрината с която ми помогна поне няколко пъти. Дано решението на задачата помогне и на други, които се интересуват от математиката. Поздрави с пожелания за здраве!