Задача от изпит за ТУ

[Михаил Гришев]

Здравейте. Моля да решите тази задача. Отговорът е R=5cm. Много благодаря.

zadachaa.png (23.7 KiB) Прегледано 509 пъти

[Alex98]

[tex]CD\bot (ABC) \Rightarrow \triangle ACD (\angle ACD=90^\circ) ; \triangle BCD (\angle BCD=90^\circ)[/tex] са правоъгълни и [tex]\triangle ABD (\angle ABD=90^\circ)[/tex] е правоъгълен.От Питагорова теорема за [tex]\triangle BCD[/tex] и [tex]\triangle ABD[/tex] последователно намираме [tex]BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{7^2+(\sqrt{15})^2}=8 ; AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10[/tex].Центъра на описаната около пирамидата сфера лежи на средата на ръба [tex]AD \Rightarrow R=5[/tex]

[Davids]

Центъра на описаната около пирамидата сфера лежи на средата на ръба [tex]AD \Rightarrow R=5[/tex]

Аз на твое място бих разширил малко обяснението по това твърдение Иначе решението си е, както си е

[S.B.]

ТЕОРЕМА:Ако около пирамида може да се опише сфера,всичките и ръбове са хорди на сферата и симетралните им равнини минават през центъра на сферата.
Даена е пирамидата ABCD,където D e върхът,ABC е основата;CD[tex]\bot[/tex]ABC и CD=7;BC = [tex]\sqrt{15}[/tex],AB = 6 и [tex]\angle[/tex]АBD = 90[tex]^\circ[/tex].Да се определи радиусът на сферата.
Центърът на сферата лежи на симетралните равнини на ръбовете на пирамидата.
Нека т.P e среда на CD,т.Q е среда на BC и т.K е среда на AC;
[tex]\triangle[/tex]BCD: По Питагор: BD = [tex]\sqrt{15 + 49}[/tex] или BD = 8 ; Построяваме симетралите на CD и BC съответно [tex]S_{CD }[/tex] и [tex]S_{BC }[/tex] ,които пресичат BD в т.N и BN = ND = CN = 4 ;За [tex]\triangle[/tex]ABD по Питагор :[tex]AD^{2}[/tex] = [tex]AB^{2}[/tex] + [tex]BD^{2}[/tex] = [tex]6^{2}[/tex] + [tex]8^{2}[/tex] или AD = 10;
[tex]\triangle[/tex]ACD:построяваме симетралите на CD и АC съответно [tex]S_{CD }[/tex] и [tex]S_{AC }[/tex], които пресичат AD в т.М и AM = DM = CM = 5 ;
По т.P, т.М, и т.N построяваме симетралната равнина на CD;В [tex]\triangle[/tex]BCD NQ e средна отс.[tex]\rightarrow[/tex]NQ II CD;В[tex]\triangle[/tex]АCD MK е ср.отсечка [tex]\rightarrow[/tex]MK II CD; [tex]\Rightarrow[/tex] MK II QN и по тях построяваме симетралната равнина на BC и AD:Пресечницата на двете симетрални равнини e МN следователно центърът на сферата принадлежи на MN;В [tex]\triangle[/tex]ABD MN e средна отсечка и MN II AB.Построяваме симетралата на АB - [tex]S_{АB }[/tex],която пресича AD в т.М ,а симетралата на AB в [tex]\triangle[/tex]АBC пресича AC в т.K,тъй като по теоремата на трите перпендикуляра и [tex]\triangle[/tex]АBC е правоъгълен;Получихме ,че и симетралната равнина на AB пресича MN в т. M:Остава да докажем,че т. М е център на сферата описана около ABCD;
MA=MD =MC = 5;От [tex]\triangle[/tex]BMN,правоъгълен :[tex]BM^{2}[/tex] = [tex]MN^{2}[/tex] + [tex]BN^{2}[/tex] или BM= [tex]\sqrt{9 + 16}[/tex] = 5;
Тъй като АМ = BM = CM = DM =5 [tex]\Rightarrow[/tex] сферата има за център т.М и R=5

[Михаил Гришев]

Благодаря за подробните отговори. Наистина много ми помогнахте.