Конкурсен изпит , СУ 14.07.1999 г.задача 3

[S.B.]

Обемът на пирамидата ABCQ е 32[tex]\sqrt{3}[/tex] и AB = 10, BC = 6 , CA = 8 , QA = QC = 4[tex]\sqrt{5}[/tex].
а) Да се намери ъгъла между равнините (ABC) и (AQC);
б) Да се намери радиусът на описаната около ABCQ сфера.

[Davids]

PyramidSphere.png (50.74 KiB) Прегледано 464 пъти

Така, стандартни означения, на чертежа някои неща съм ги пропуснал, за да не става пренатруфено.
а)
Първо съобразяваме, че числата $10, 8, 6$ са Питагорова тройка, откъдето неизменно $\angle ACB = 90^{\circ}$ (а можем и да направим проверка за височината, нещата излизат).
От друга страна триъгълникът $\Delta AQC$ е равнобедрен. Взимаме средата $L$ на $AC$, имайки $AL = LC = 4$ и по Питагорова теорема за същия тръгълник намираме $QL = 8$.
Сега, за да намерим търсения в а) ъгъл, ще ни трябват две перпендикулярни на общия ръб $AC$ на равнините $(AQC)$ и $ABC$ прави, лежащи съответно в тези две равнини. Едната вече я имаме - $BC \bot AC$ от равнината $(АBC)$, а другата построихме току-що: $QL \bot AC$. Само че те не се пресичат в една точка и затова ще построим $ML$ като средна отсечка в $\Delta ABC$ срещу страната $BC$. Още от даденото имаме, че $ML = \frac{BC}{2} = 3cm$. И сега търсеният ъгъл ни е $\angle MLQ$.
За да го намерим обаче, ще ползваме височината на пирамидата - $QH$. Трябва обаче да определим къде точно ще лежи точката $H$. За тази цел ще ни трябва $QH$ да е перпендикулярна на две пресекателни прави от равнината $ABC$. Едната вече я имаме, доказваме перпендикулярност по теоремата за трите перпендикуляра: $CL \bot LM$ и $CL \bot QL$, следователно $CL \bot (LMQ)$. Оттам следва и че $QH$ ще лежи на равнината $(LMQ)$. Само че ни е нужна още една перпендикулярна права от основата, затова ще си я построим допълнително като продължение на $LM$. Всъщност, с оглед на втората подточка ще построим продълженията на $LM$ до пресичане със сферата в точки $F, G$, както е показано на чертежа. Сега реално височината на пирамидата $QH$ ще ни се явява височина към страната $FG$ в $\Delta FGQ$.
Ще ползваме сега дадения обем за да намерим дължината на височината. За тази цел първо ни е нужно лицето на основата: $B = \frac{8.6}{2} = 24$
$V = \frac{Bh}{3} = 8h = 32\sqrt{3} \Rightarrow h = QH = 4\sqrt{3}$.
Оттам вече търсеният ъгъл се намира лесно:
$sin\angle MLQ = \frac{QH}{QL} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha = 60^{\circ}$. С това приключва и първата подточка.

б)
По определението за център на описана около пирамида сфера веднага съобразяваме, че центърът $O$ на описаната сфера лежи върху правата, перпендикулярна на равнината на основата и минаваща през центъра на описаната около основата окръжност. В нашия случай основата е правоъгълен триъгълник, следователно център на описаната окръжност се явява средата на хипотенузата $M$. Само че, знаейки, че $O$ ще лежи на правата, перпендикулярна на основата и минаваща през тази точка, при положение, че и $QH$ също е перпендикулярна на равнината на основата, можем да направим извода, че точка $O$ ще лежи в равнината $MHQ$. Но в същата равнина се намира и целият триъгълник $FGQ$, чиито върхове лежат върху сферата. Следователно радиусът на описаната около пирамидата сфера съвпада с радиуса на описаната около $\Delta FGQ$ окръжност.
Само че тук наистина дори след подробно преглеждане достигам отново до извода, че ми липсват метрични елементи от този триъгълник... Знам му само медианата и височината към едната страна и разстоянието между петите на двете... Но това не дефинира триъгълника, което ме навежда на мисълта, че нещо пропускам или може би този триъгълник въобще не е правилното място, откъдето да намеря радиуса на сферата... Това добре нали, ама друг по-изгоден триъгълник в такава равнина, в която да лежи и центъра на сферата, не мога да изкарам от тая пирамида... Оставям другата подточка на някой друг

[S.B.]

Здравей Davids в този късен час!
а)Имаш 2 случая:Когато т.М и т.H са в една и съща полуравнина относно AC и когато H и M са в различни полуравнини относно АC.В първия случай,който ти си начертал и който си решил [tex]\angle[/tex]QLH = 60[tex]^\circ[/tex],a при втория случай [tex]\angle[/tex]QLH = 120[tex]^\circ[/tex].И при двата случая петата на височината е извън равнината на основата,понеже LH=4 см,а LM=3 като средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]ABC в първия случай и при втория LH=4 см,което се установява с Питагор :[tex]LH^{2}[/tex] = [tex]LQ^{2}[/tex] - [tex]QH^{2}[/tex]
б)Защо го намери този ъгъл,като не искаш да го използваш??
Центъра на описаната около [tex]\triangle[/tex]АBC окръжност е т.М и ако [tex]r_{1 }[/tex] е радиуса на тази окръжност то [tex]r_{1 }[/tex] = 5;
Ако "пресечеш" сферата с равнината на [tex]\triangle[/tex]ACQ ще получиш и окръжността описана около този триъгълник,която си има център N,който лежи на LQ и радиус който можеш да намериш.Центъра на сферата лежи на пресечната точка на перпендикуляра издигнат от т.М и перпендикуляра спуснат от т.N ,защото и М и N са прес.точки на симетралите в двата триъгълника,а центъра на сферата лежи на симетралните равнини на ръбовете на пирамидата.
За [tex]\triangle[/tex]ACQ:sin[tex]\angle[/tex]CAQ = [tex]\frac{LQ}{AQ}[/tex] = [tex]\frac{8}{4\sqrt{5}}[/tex] = [tex]\frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex];[tex]\frac{CQ}{sinCAQ}[/tex] = 2[tex]r_{2 }[/tex],като [tex]r_{2 }[/tex] е радиус на описаната около [tex]\triangle[/tex]АCQ окръжност;[tex]r_{2 }[/tex] = 5;
От [tex]\triangle[/tex]LCN: CN=[tex]r_{2 }[/tex] [tex]LN^{2}[/tex] = [tex]CN^{2}[/tex] - [tex]CL^{2}[/tex] = 25 - 16 = 9 или LN=3
Връщаш се към ъгъла от a) - [tex]\angle[/tex]MLN = 60[tex]^\circ[/tex] ML= NL и ако т.О е центъра на сферата то LO e ъглополовящата на този ъгъл и ОN[tex]\bot[/tex]LN , ОМ[tex]\bot[/tex]LM [tex]\Rightarrow[/tex]OM = ON = 3.tg 30[tex]^\circ[/tex] или OM = ON = [tex]\sqrt{3}[/tex];Върхът Q лежи на сферата [tex]\Rightarrow[/tex] ОQ = R,където R e радиус на сферата.От [tex]\triangle[/tex]ONQ по Питагор имаме : [tex]OQ^{2}[/tex] = [tex]ON^{2}[/tex] + [tex]NQ^{2}[/tex] или [tex]R^{2}[/tex] = [tex]ON^{2}[/tex] + [tex]r_{2 }^{2}[/tex] = [tex]\sqrt{3}^{2}[/tex] + [tex]5^{2}[/tex] = 28 [tex]\Rightarrow[/tex] R = 2[tex]\sqrt{7}[/tex]
При втория случай,когато [tex]\alpha[/tex] = 120[tex]^\circ[/tex] тогава OM = ON = 3[tex]\sqrt{3}[/tex] и R = [tex]\sqrt{5^{2} + (3\sqrt{3})^{2}}[/tex] = [tex]\sqrt{52}[/tex] = 2[tex]\sqrt{13}[/tex]