Пирамида

[S.B.]

За основа на пирамидата ABCD служи правоъгълен триъгълник ABC с катети BC = a и AC = b.Околните стени минаващи през катетите , сключват с равнината на основата равни ъгли с големина [tex]\alpha[/tex].Върхът на пирамидата се проектира върху хипотенузата на [tex]\triangle[/tex]ABC.Да се определят:
а) Лицата на околната и пълната повърхнина на пирамидата;
б) Обема на пирамидата.

[Nathi123]

Нека [tex]DH\bot (A,B,C ) \Rightarrow H\in AB[/tex] . Построяваме [tex]DP\bot AC \Rightarrow HP\bot AC[/tex] ( т-ма за 3-те перпенд.)
[tex]\Rightarrow \angle ( (A,B,C) ; ( A,C,D))=\angle DPH=\alpha[/tex] . Аналогично [tex]DQ\bot BC\Rightarrow HQ\bot BC \Rightarrow\angle DQH=\alpha[/tex].
[tex]\triangle DPH\cong \triangle DQH \Rightarrow PH=QH ; DQ=DP; AH-[/tex] e ъглополовяща на [tex]\angle ACB=90^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow CH=\frac{2abcos45^\circ}{a+b}=\frac{ab\sqrt{2}}{a+b}.[/tex] От [tex]\triangle CPH\Rightarrow \frac{PH}{CH}=sin45^\circ\Rightarrow PH = \frac{ab}{a+b}[/tex]
От [tex]\triangle PHD\Rightarrow \frac{PH}{DP}=cos\alpha\Rightarrow DP=DQ=\frac{ab}{(a+b)cos\alpha}; DH=PHtg\alpha = \frac{ab}{a+b}tg\alpha[/tex]
[tex]V=\frac{ab.DH}{2.3}=\frac{a^{2}b^{2}tg\alpha}{6(a+b)}; S_{ABCD }=\frac{1}{2}. [(a+b).DQ+\sqrt{a^{2}+b^{2}}.DH+ab].[/tex]