Конкурсен изпит ТУ 2000 г.зад.3

[S.B.]

Лицето на основата,лицето на околната повърхнина и лицето на пълната повърхнина на правилна триъгълна пирамида,взети в този ред,образуват аритметична прогресия.
а)Да се намери големината на двустенния ъгъл,определен от околната стена и основата на пирамидата;
б)В пирамидата са вписани прави кръгови цилиндри,така,че долната основа на всеки цилиндър лежи в равнината на основата на пирамидата,а горната му основа има точно по една обща точка с всяка от околните стени.Ако основният ръб на пирамидата има дължина 'а',да се намери радиуса на основата на този вписан в пирамидата прав кръгов цилиндър,който има най-голям обем.

[Davids]

Pyramid.png (12.84 KiB) Прегледано 544 пъти

а) линейният ъгъл на търсения двустенен ъгъл представлява $\angle OPM = \alpha$, където $P$ е средата на $BC$ (тъй като върхът $M$ се проектира в центъра на основата, а перпендикуляра от него към $BC$ го разполовява и се явява радиус на вписаната окръжност). Косинусът на търсения ъгъл е $cos\alpha = \frac{r}{k}$.
Лицето на основата е $B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Околната повърхнина е $S = \frac{3ak}{2}$, където $k$ е апотемата на околните стени.
Респективно пълната повърхнина е $S_1 = S + B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{3ak}{2}$
От дадената аритметична прогресия извеждаме, че $2S = S_1 + B$
$\Rightarrow 3ak = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + \frac{3ak}{2}$
$...$
$\Rightarrow \frac{a}{k} = \sqrt{3}$.
А знаем също и (можем и да го изведем) че $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$
Оттам $cos\alpha = \frac{r}{k} = \frac{a\sqrt{3}}{6k} = \frac{a}{k}.\frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{1}{2}$
Следователно $\alpha = 60^{\circ}$

б)

PyramidCylinder.png (21.59 KiB) Прегледано 544 пъти

тук наистина ми стана интересно За всеки един вписан прав кръгов конус по дадения начин знаем, че има:
- радиус $r_1 < r$ на пирамидата;
- височина $h_1 < h$ на пирамидата.
Следователно неговият обем ще е $V = \pi r_1^2h_1$.
Само че от намерения в горната подточка ъгъл можем да изведем, че (наблюдава се при правоъгълния триъгълник в която и да е околна стена, ще се ориентирате
$\frac{r - r_1}{h_1} = cotg60$
$\Rightarrow h_1 = \frac{a}{2} - \sqrt{3}r_1$

И сега обемът стана $V = \pi r_1^2(\frac{a}{2} - \sqrt{3}r_1)$
Реално търсим за кой $r_1$ стойността на $V$ е най-голяма и това ме навежда на мисълта да представя цялото нещо като функция и да търся нейния локален максимум Така че ще приравним $r_1 = x$ и $V = f(x)$, при което получаваме:
$f(x) = \pi x^2(\frac{a}{2} - \sqrt{3}x)$
$\Rightarrow f'(x) = 2\pi x(\frac{a}{2} - \sqrt{3}x) + \pi x^2(-\sqrt{3}) = a\pi x - 2\sqrt{3}\pi x^2 - \pi \sqrt{3}x^2 = \pi x(a - 3\sqrt{3}x)$
Екстремумите са два:
$x = 0$, където производната сменя знака си от плюс на минус, т.е. е локален минимум;
$x = \frac{a\sqrt{3}}{9}$, където производната сменя знака си от минус на плюс, т.е. е локален максимум.
И без това само втората е допустима стойност като за решение, но трябваше да се докаже и аналитично И така търсеният максимален обем се достига за радиус на цилиндъра $r_1 = \frac{a\sqrt{3}}{9}$