Разстояние от медицентър до хипотенуза в прав. триъгълник

[nutb0ll]

Здравейте, може ли някой да ми каже как се решава това:

Лицето на правоъгълен триъгълник е S, а големината на един от острите му ъгли е [tex]\alpha[/tex]. Да се намери разстоянието от медицентъра на триъгълника до неговата хипотенуза. Отг. е [tex]\frac{1}{3}\sqrt{Ssin2\alpha}[/tex]

[monika_at]

За всеки триъгълник разстоянието от медицентъра до коя да е негова страна е 1/3 от височината, спусната към тази страна.

[S.B.]

Даен е [tex]\triangle[/tex]ABC,[tex]\angle[/tex]А = [tex]\alpha[/tex],[tex]S_{ABC }[/tex] = S;Нека CM - медиана към AB,т.G[tex]\in[/tex]CM - медицентър и GH[tex]\bot[/tex]AB;Търсим GH ;
Нека AB = c [tex]\Rightarrow[/tex] CM = [tex]\frac{1}{2}[/tex]c , MG = [tex]\frac{1}{3}[/tex].[tex]\frac{1}{2}[/tex]c или MG = [tex]\frac{c}{6}[/tex];
[tex]\triangle[/tex]AMC е равнобедрен (АМ = МC = [tex]\frac{c}{2}[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]ACM = [tex]\angle[/tex]A = [tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]CMB = 2[tex]\alpha[/tex]
Tогава за [tex]\triangle[/tex]MGH :[tex]\angle[/tex]GMH = 2[tex]\alpha[/tex] и [tex]\frac{GH}{GM}[/tex] = sin2[tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] GH = [tex]\frac{c}{6}[/tex].sin2[tex]\alpha[/tex]
Тъй като всяка медиана разполовява лицето на триъгълника то:[tex]S_{ABC }[/tex] = 2 [tex]S_{AMC }[/tex] = 2.[tex]\frac{AM.MC}{2}[/tex].sin(180[tex]^\circ[/tex]- 2[tex]\alpha[/tex])
Или S = 2.[tex]\frac{\frac{c}{2}.\frac{c}{2}}{2}[/tex].sin2[tex]\alpha[/tex] от където S = [tex]\frac{c^{2}}{4}[/tex].sin2[tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] c = 2.[tex]\sqrt{\frac{S}{sin2\alpha}}[/tex]
GH = [tex]\frac{c}{6}[/tex].sin2[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{2}{6}[/tex].[tex]\sqrt{\frac{S}{sin2\alpha}}[/tex].sin2[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{1}{3}[/tex].[tex]\sqrt{\frac{S.sin^{2}2\alpha}{sin2\alpha}}[/tex] = [tex]\frac{1}{3}[/tex].[tex]\sqrt{S.sin2\alpha}[/tex]

[monika_at]

Търсеното разстояние е 1/3 от височината. Нека
[tex]CH=h, AC=b, BC=a[/tex]
От [tex]\triangle AHC =>h=b.sin\alpha; \triangle BHC =>h=a. cos\alpha => h^2=ab.sin\alpha.cos\alpha=\frac{1}{2}ab.2sin\alpha.cos\alpha=S.sin2\alpha[/tex]
Тогава търсеното разстояние е
[tex]\frac{1}{3}\sqrt{S.sin2\alpha}[/tex]