Сечение в правилна триъгълна пирамида

[S.B.]

Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб "а" и околен ръб "2а".Прекарана е равнина през средата на един от околните ръбове и перпендикулярна на него.Определете лицето на полученото сечение.

[Davids]

PyramidIntersection.png (16.59 KiB) Прегледано 486 пъти

Сечението представлява триъгълника $MHJ$, като $(MHJ) \bot AD$ и $AM = MD = а$.
Ако $BK = h_b$ е височината към бедрото в равнобедрения $ABD$, то $\frac{BK}{HM} = \frac{KD}{MD}$

Първо ще намерим $KD$. Ще го направим по определението за косинус от $\angle BAD = \alpha$.
$cos\alpha = \frac{a}{4a} = \frac{1}{4} = \frac{AK}{a} \Rightarrow AK = \frac{a}{4} \Rightarrow KD = \frac{7}{4}a$
Сега ще намерим $BK$ от лицето на $ABD$. Имаме $p = \frac{5}{2}a$ и по Херонова формула получаваме:
$S = \sqrt{\frac{5}{2}a.\frac{3}{2}a.(\frac{1}{2}a)^2} = \frac{a^2}{4}.\sqrt{15}$
Но това лице е равно и на $S = \frac{2a.h_b}{2} = ah_b \Rightarrow h_b = \frac{a\sqrt{15}}{4}$

И оттам намираме $HM = \frac{a.h_b}{KD} = \frac{a.\frac{a\sqrt{15}}{4}}{\frac{7}{4}a} = \frac{a\sqrt{15}}{7}$

Сега, знаем, че $HM = JM$ и за лицето на сечението ще ползваме синуса на $\angle HMJ = \angle BKC$. Косинусът на втория ще намерим по косинусова теорема:
$cos\angle BKC = \frac{2h_b^2 - a^2}{2h_b^2} = \frac{7}{15}$
Оттам и $sin\angle BKC = \frac{4\sqrt{11}}{15}$

Окончателно лицето на сечението е равно на:
$S = \frac{HM^2sin\angle HMJ}{2} = \frac{15a^2.4\sqrt{11}}{49.15.2} = \frac{2\sqrt{1}a^2}{49}$

Ако не съм объркал нещо изчислително

[S.B.]

Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб "а" и околен ръб "2а".Прекарана е равнина през средата на един от околните ръбове и перпендикулярна на него.Определете лицето на полученото сечение.

Кога една права е перпендикулярна на равнина?Когато е перпендикулярна на две пресичащи се прави от равнината.За да построиш исканата равнина ,тя ще трябва да минава през 2 пресичащи се прави [tex]\bot[/tex] околния ръб ,като пресечната им точка е средата на този ръб.Т. е. ако избереш околния ръб CD и т.P да е негова среда,тогава равнината ще се определи от симетралите на CD в стените ACD и BCD;
В стената АCD [tex]S_{CD }[/tex] X AD = т.М , в стената BCD [tex]S_{CD }[/tex] X BD = т.N и тогава сечението е равнобедрения [tex]\triangle[/tex]MNP. Иначе е вярно.Липсва ти само построението!Щеше много по-лесно да работиш ако беше направил правилно построение

[Davids]

Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб "а" и околен ръб "2а".Прекарана е равнина през средата на един от околните ръбове и перпендикулярна на него.Определете лицето на полученото сечение.

Кога една права е перпендикулярна на равнина?Когато е перпендикулярна на две пресичащи се прави от равнината.За да построиш исканата равнина ,тя ще трябва да минава през 2 пресичащи се прави [tex]\bot[/tex] околния ръб ,като пресечната им точка е средата на този ръб.Т. е. ако избереш околния ръб CD и т.P да е негова среда,тогава равнината ще се определи от симетралите на CD в стените ACD и BCD;
В стената АCD [tex]S_{CD }[/tex] X AD = т.М , в стената BCD [tex]S_{CD }[/tex] X BD = т.N и тогава сечението е равнобедрения [tex]\triangle[/tex]MNP. Иначе е вярно.Липсва ти само построението!Щеше много по-лесно да работиш ако беше направил правилно построение

Може би нещо не разбирам, но не съм ли направил точно аналохгичното нещо, но при ръба $AD$? И точките са с други имена

[S.B.]

Не си ме разбрал правилно.Не казвам,че това което си писал не е вярно.Просто при този тип задачи обикновено се изисква (на състезание,на изпит) да опишеш построението с две три думи.Ти казваш " Сечението е МHJ [tex]\bot[/tex] AD като МА = МD = а" и толкова!Защо MHJ[tex]\bot[/tex]AD - това не казваш,нито казваш как си построил това сечение.Аз ти написах макар и с други букви как би изглеждало това построение и още с построението ти вече знаеш,че [tex]\triangle[/tex]MHJ e равнобедрен,понеже симетралите са равни и т.н. Хубаво си се справил,но мисля,че можеше поне да покажеш,защо [tex]\triangle[/tex]MHJ е търсеното сечение.

[Davids]

Не си ме разбрал правилно.Не казвам,че това което си писал не е вярно.Просто при този тип задачи обикновено се изисква (на състезание,на изпит) да опишеш построението с две три думи.Ти казваш " Сечението е МHJ [tex]\bot[/tex] AD като МА = МD = а" и толкова!Защо MHJ[tex]\bot[/tex]AD - това не казваш,нито казваш как си построил това сечение.Аз ти написах макар и с други букви как би изглеждало това построение и още с построението ти вече знаеш,че [tex]\triangle[/tex]MHJ e равнобедрен,понеже симетралите са равни и т.н. Хубаво си се справил,но мисля,че можеше поне да покажеш,защо [tex]\triangle[/tex]MHJ е търсеното сечение.

А, ясно. Е, това съм го съобразил и съм го оставил на съображението на читателя. Иначе бързах просто и нямах време да го опиша в детайли

[S.B.]

Не надценявай "читателя"! Радвам се,че ме разбра!