Тригонометрична функция

[S.B.]

Дадена е функцията:
y = 2sinx + cos2x ,където x[tex]\in[/tex][0 ; 2[tex]\pi[/tex]]
Да се намерят екстремумите на функцията.

[Nathi123]

[tex]y = 2sinx+cos2x=2sinx + 1 -sin^{2}x ; sinx=t; x\in [0,2\pi ] \Rightarrow t\in [-1,1]\Rightarrow Y(t)= -2t^{2}+2t+1\Rightarrow Y'= -4t+2=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}[/tex] .
Около x=[tex]\frac{1}{2}[/tex] производната си сменя знака,като е положителна преди тази точка и отрицателна след нея,затова тази точка е лок. максимум.
За [tex]t\in [-1,1] \Rightarrow Y(t)_{max }=Y(\frac{1}{2})=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}\cup x= \frac{5\pi}{6}; Y_{min }=min\begin{cases} Y(-1)=-3 \\ Y(1)=1 \end{cases}[/tex]
[tex]\Rightarrow Y_{min }=Y(-1)=-3\Leftrightarrow x=\frac{3\pi}{2}[/tex].

[matst]

Липсва [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex].

[Nathi123]

Не липсва,защото е точка на локален ,но не абсолютен екстремум за зададената в затворен интервал функция!
Писала съм ,че Y(1) =1 e мин. стойност ,но не най- малка върху зададения затворен интервал!Тя са достига при x = [tex]\frac{\pi}{2}[/tex].