Триъгълна пирамида

[S.B.]

За основа ма пирамидата MABC служи триъгълник със страни : AB = 18 , BC = 15 и AC = 12.Две от околните стени сключват с равнината на основата ъгли равни на 45[tex]^\circ[/tex],а равнината,която минава през AB е перпендикулярна на равнината на основата.Да се намери радиусът на вписаната сфера.

[Davids]

а равнината, която минава през AB ...

През права минават безкрай много равнини, да не се има предвид околна стена или пък да е изпусната някоя буква след АВ?

[S.B.]

а равнината, която минава през AB ...

През права минават безкрай много равнини, да не се има предвид околна стена или пък да е изпусната някоя буква след АВ?

Така е написано,но със сигурност става въпрос за третата стена на пирамидата - ABM,защото е казано "равнинаТА,която минава през AB е перпендикулярна на основата" Иначе наистина през AB минават много равнини,но е една която хем минава през AB,хем е [tex]\bot[/tex] на основата (ABC)

[Davids]

Така е написано,но със сигурност става въпрос за третата стена на пирамидата - ABM,защото е казано "равнинаТА,която минава през AB е перпендикулярна на основата" Иначе наистина през AB минават много равнини,но е една която хем минава през AB,хем е [tex]\bot[/tex] на основата (ABC)

Добре де, чудейки се къде да лежи центъра на тази сфера вписаната, чета тук из интернет и не ми се вързва - центърът й трябвало да лежи на височината на пирамидата. Да де, ама като едната околна стена е перпендикулярна на основата, няма как да стане този номер, а пък теорията е твърда (и това също звучи логично), че във всеки тетраедър (т.е. в триъгълна пирамида) може да се впише сфера Нещо не мога да се ориентирам... (точка 62. от тук например )

[S.B.]

Всяко правило си има изключение!Като имаш предвид,че пирамидата е доста "шантава" (ако позволиш този израз!) ще ти дам идея,която ти ще довършиш.
Нека центърът е т,O,която ясно,че лежи някъде вътре в пирамидата.Свързваш т.О с върховете на пиарамидата M,A,B и C и получаваш 4 пирамиди:OABC , OACM , OABM и OBCM.Те всички имат за височина R,тъй като сферата се допоира до всички стени и всички стени са на едно и също разстояние от центъра т.O именно R;Ако събереш обемите им ,ще получиш обема на MABC:
[tex]V_{AMBC }[/tex] = [tex]\frac{R.S_{ABC }}{3}[/tex] + [tex]\frac{R.S_{ABM }}{3}[/tex] + [tex]\frac{R.S_{AMC }}{3}[/tex] + [tex]\frac{R.S_{BMC }}{3}[/tex]= [tex]\frac{R}{3}[/tex]([tex]S_{ABC }[/tex] + [tex]S_{ABM }[/tex] + [tex]S_{AMC }[/tex] + [tex]S_{BMC }[/tex]) = [tex]\frac{R}{3}[/tex]. [tex]S_{MABC }[/tex]
или [tex]V_{MABC }[/tex] = [tex]\frac{R}{3}[/tex][tex]S_{MABC }[/tex] от където R = [tex]\frac{3.V_{MABC }}{S_{MABC }}[/tex]
Kъдето [tex]V_{MABC }[/tex] е обема на пирамидата, [tex]S_{MABC }[/tex] е пълната повърхнина.
Аз не съм я измислила тази формула.Има я в справочниците.Аз само ти показах как се извежда.

[S.B.]

Вече казах в предишното си мнение,че R = [tex]\frac{3.V_{MABC }}{S_{MABC }}[/tex]
Сега нека се "ориентираме" в пирамидата:От условието,че стените ACM и BCM сключват равни ъгли с основата следва,че ръбът CM се проектира върху ъглополовящата на [tex]\angle[/tex]ACB - AL,като L[tex]\in[/tex]АB,а от условието,че стената ABM [tex]\bot[/tex]на основата ABC следва,че височината [tex]\in[/tex]ABM и върхът M се проектира върху пресечната точка на ъглополовящата и AB [tex]\rightarrow[/tex] h= LM;Ако MP[tex]\bot[/tex]AC и MQ[tex]\bot[/tex]CB са двете апотеми в стените AMC и BMC тогава техните проекции в основата ще бъдат LP и LQ.Но LP [tex]\bot[/tex]AC и LQ[tex]\bot[/tex]BC и L e точка от ъглополовящата то [tex]\rightarrow[/tex] LP = LQ,а понеже те са проекции на апотемите MP и MQ тогава и MP = MQ .Като знаем,че [tex]\angle[/tex]MPL = [tex]\angle[/tex]MQL = 45[tex]^\circ[/tex] тогава LM=LP=LQ;
Останалото в задачата са сметките.
По Херонова формула намирам [tex]S_{ABC }[/tex] = [tex]\sqrt{\frac{45}{2}.\frac{21}{2}.\frac{9}{2}.\frac{15}{2}}[/tex] = [tex]\frac{135\sqrt{7}}{4}[/tex];Нека LP = LQ = x тогава [tex]S_{ABC }[/tex] = [tex]\frac{AC.LP}{2}[/tex] + [tex]\frac{BC.LQ}{2}[/tex]
Или [tex]\frac{135\sqrt{7}}{4}[/tex] = х.[tex]\frac{27}{2}[/tex] от където х = [tex]\frac{5\sqrt{7}}{2}[/tex]; Получихме,че LP = LQ = LM = [tex]\frac{5\sqrt{7}}{2}[/tex];
Понеже [tex]\angle[/tex]LPM = [tex]\angle[/tex]LQM = 45[tex]^\circ[/tex] то апотемите MP = MQ =[tex]\frac{5\sqrt{14}}{2}[/tex];За да намерим пълната повърхнина на MABC трябва да намерим повърхнините на околните стени и да ги съберем с лицето на основата:
[tex]S_{MBC }[/tex] = [tex]\frac{BC.MQ}{2}[/tex] = [tex]\frac{75\sqrt{14}}{4}[/tex];[tex]S_{AMC }[/tex] =[tex]\frac{AC.MP}{2}[/tex] =15[tex]\sqrt{14}[/tex];[tex]S_{ABM }[/tex]= [tex]\frac{AB.LM}{2}[/tex] = [tex]\frac{45\sqrt{7}}{2}[/tex] и [tex]S_{ABC }[/tex] = [tex]\frac{135\sqrt{7}}{4}[/tex]
[tex]S_{MABC }[/tex] = [tex]\frac{225\sqrt{7}}{4}[/tex] + [tex]\frac{105\sqrt{14}}{4}[/tex][tex]\approx[/tex]247,03
[tex]V_{MABC }[/tex] = [tex]\frac{1}{3}[/tex].[tex]\frac{135\sqrt{7}}{4}[/tex].[tex]\frac{5\sqrt{7}}{2}[/tex][tex]\approx[/tex]196,875
R = [tex]\frac{3.V_{MABC }}{S_{MABC }}[/tex] [tex]\approx[/tex]2,39

[Davids]

Вече казах в предишното си мнение,че R = [tex]\frac{3.V_{MABC }}{S_{MABC }}[/tex]
Сега нека се "ориентираме" в пирамидата:От условието,че стените ACM и BCM сключват равни ъгли с основата следва,че ръбът CM се проектира върху ъглополовящата на [tex]\angle[/tex]ACB - AL,като L[tex]\in[/tex]АB,а от условието,че стената ABM [tex]\bot[/tex]на основата ABC следва,че височината [tex]\in[/tex]ABM и върхът M се проектира върху пресечната точка на ъглополовящата и AB [tex]\rightarrow[/tex] h= LM;Ако MP[tex]\bot[/tex]AC и MQ[tex]\bot[/tex]CB са двете апотеми в стените AMC и BMC тогава техните проекции в основата ще бъдат LP и LQ.Но LP [tex]\bot[/tex]AC и LQ[tex]\bot[/tex]BC и L e точка от ъглополовящата то [tex]\rightarrow[/tex] LP = LQ,а понеже те са проекции на апотемите MP и MQ тогава и MP = MQ .Като знаем,че [tex]\angle[/tex]MPL = [tex]\angle[/tex]MQL = 45[tex]^\circ[/tex] тогава LM=LP=LQ;
Останалото в задачата са сметките.
По Херонова формула намирам [tex]S_{ABC }[/tex] = [tex]\sqrt{\frac{45}{2}.\frac{21}{2}.\frac{9}{2}.\frac{15}{2}}[/tex] = [tex]\frac{135\sqrt{7}}{4}[/tex];Нека LP = LQ = x тогава [tex]S_{ABC }[/tex] = [tex]\frac{AC.LP}{2}[/tex] + [tex]\frac{BC.LQ}{2}[/tex]
Или [tex]\frac{135\sqrt{7}}{4}[/tex] = х.[tex]\frac{27}{2}[/tex] от където х = [tex]\frac{5\sqrt{7}}{2}[/tex]; Получихме,че LP = LQ = LM = [tex]\frac{5\sqrt{7}}{2}[/tex];
Понеже [tex]\angle[/tex]LPM = [tex]\angle[/tex]LQM = 45[tex]^\circ[/tex] то апотемите MP = MQ =[tex]\frac{5\sqrt{14}}{2}[/tex];За да намерим пълната повърхнина на MABC трябва да намерим повърхнините на околните стени и да ги съберем с лицето на основата:
[tex]S_{MBC }[/tex] = [tex]\frac{BC.MQ}{2}[/tex] = [tex]\frac{75\sqrt{14}}{4}[/tex];[tex]S_{AMC }[/tex] =[tex]\frac{AC.MP}{2}[/tex] =15[tex]\sqrt{14}[/tex];[tex]S_{ABM }[/tex]= [tex]\frac{AB.LM}{2}[/tex] = [tex]\frac{45\sqrt{7}}{2}[/tex] и [tex]S_{ABC }[/tex] = [tex]\frac{135\sqrt{7}}{4}[/tex]
[tex]S_{MABC }[/tex] = [tex]\frac{225\sqrt{7}}{4}[/tex] + [tex]\frac{105\sqrt{14}}{4}[/tex][tex]\approx[/tex]247,03
[tex]V_{MABC }[/tex] = [tex]\frac{1}{3}[/tex].[tex]\frac{135\sqrt{7}}{4}[/tex].[tex]\frac{5\sqrt{7}}{2}[/tex][tex]\approx[/tex]196,875
R = [tex]\frac{3.V_{MABC }}{S_{MABC }}[/tex] [tex]\approx[/tex]2,39

Абсолютно същото щях да разпиша, ама уикенда ме емна и нямаше кога Та все пак реших да кача чертежа, който бях разработил и зарязал на компютъра в чакане да бъде публикуван с подобаващо решение под себе си. Е, за второто ме изпревари

FunnyPyramid.png (39.89 KiB) Прегледано 556 пъти

[S.B.]

Позволи ми да те поздравя за прекрасния чертеж!Искам да отбележа,че за да направиш този чертеж ти си имал и съответните правилни разсъждения.В стереометрията е важно разсъжденията и чертежа,а останалото е само сметки!Също както е в бриджа - важни са анонсите,които правят лордовете,а после разиграването може да се направи и от слугите.Не съжалявай за уикенда!Вярвам да си прекарал чудесни моменти!Приготвила съм още по-свежа задача,която тези дни ще пусна.