Задачка от кандидат студентски изпит

[Koz3la]

Най-малката страна на триъгълник се отнася към радиуса на описаната
около него окръжност както 6:5, а другите две страни са съответно
20 cm и 21 cm. Най-малката страна на триъгълника е:

[ева]

13 см.

[Koz3la]

Малко насоки ще може ли не ми трябва само отговор?!?

[Петър Евгениев]

Ще използвам такива означения:[tex]a<b<c, a:R=6:5 \Rightarrow a=6x,R=5x, b=20, c=21[/tex]
Синусова теорема:[tex]\frac{a}{sin\alpha}=2R \Leftrightarrow \frac{6x}{sin\alpha}=12x \Rightarrow sin\alpha=\frac{6x}{10x}=\frac{3}{5}[/tex]
Намирам и косинуса [tex]\frac{9}{25}+cos^{2}\alpha=1 \Rightarrow cos\alpha=\frac{4}{5}[/tex]
Косинусова теорема:[tex]a^{2}=441+400-2.21.20\frac{4}{5} \Rightarrow a^{2}=169 \Rightarrow a=13[/tex]

[Koz3la]

Много благодаря за точното и кратко обяснение!!!
И още нещичко .
За ABC медианите 1AA и 1BB имат дължини съответно
39 и 30, а страната AB=26 . Лицето на ABC е:

[Добромир Глухаров]

$AA_1\cap BB_1=M;\ AM=\frac{2}{3}AA_1=26;\ BM=\frac{2}{3}BB_1=20$

Разглеждаме $\Delta ABM$ със страни $AB=26;\ AM=26;\ BM=20$. $P=26+26+20=72\Rightarrow p=\frac{P}{2}=36\Rightarrow S_{\Delta ABM}=\sqrt{p(p-AB)(p-AM)(p-BM)}=\sqrt{36(36-26)(36-26)(36-20)}=\sqrt{36.10.10.16}=6.10.4=240$

С подобни триъгълници се доказва, че $S_{\Delta ABC}=3S_{\Delta ABM}=3.240=720$

[Koz3la]

Даден е тъпоъгълен равнобедрен триъгълник ABC с основа AB= 3[tex]\sqrt{3}[/tex], а
височината към бедрото BC образува с основата ъгъл 60 . Намерете дължината на
бедрото на триъгълника.

[Добромир Глухаров]

Построяваме височината от $А$ към $BC$. $AH\bot BC$ и $H$ лежи на продължението на $BC$.

В правоъгълния $\Delta ABH$ $\angle HAB=60^\circ\Rightarrow \angle ABH=30^\circ\Rightarrow AH=\frac{1}{2}AB=\frac{3\sqrt{3}}{2};\ BH=\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot3\sqrt{3}=\frac{9}{2}$

Нека $AC=BC=x\Rightarrow HC=BH-BC=\frac{9}{2}-x$

От $\Delta AHC$ - правоъгълен $\Rightarrow AC^2=AH^2+HC^2\Rightarrow x^2=\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{9}{2}-x\right)^2\Rightarrow \cancel{x^2}=\frac{27}{4}+\frac{81}{4}-9x+\cancel{x^2}\Rightarrow 9x=\frac{108}{4}=27\Rightarrow AC=BC=x=3$

[Koz3la]

Много благодаря колега!

[Koz3la]

В успоредник ABCD диагоналите са BD=[tex]\sqrt{76}[/tex] и AC=14, а ъгъл ACB=120 ^\circ . Да се намерят дължините на страните
AB и AD

[Добромир Глухаров]

Мисля, че такъв успоредник не може да съществува - трябва да има грешка в условието. Защото от $\angle ACB=120^\circ\Rightarrow BD>AC$, а $76<14^2$.

[S.B.]

Мисля, че такъв успоредник не може да съществува - трябва да има грешка в условието. Защото от $\angle ACB=120^\circ\Rightarrow BD>AC$, а $76<14^2$.

И аз още снощи видях,че успоредника е невъзможен,но очаквах,че Koz3la ще поправи грешката.Може би става дума за [tex]\angle[/tex]АCB =120[tex]^\circ[/tex]?Тогава ще е лесно.

[Koz3la]

Малко помощ

[Davids]

Малко помощ

$x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2) = 5[(x_1 + x_2)^2 - x_1x_2] = 35$
Заместваме с формулите на Виет и получаваме $m^2 - n = 7$
Паралелно с това можем да направим следното:
$(x_1 - x_2)^2 = 25$
$x_1^2 + x_2^2 - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 25$
$\Leftrightarrow m^2 - 4n = 25$
$\Rightarrow m^2 - n - 3n = 7 - 3n = 25$
$3n = -18$
$n = -6$
$\Rightarrow m = \pm 1$

[Koz3la]

Намерете стойностите на реалния параметър k, за които уравнението kx^{2}-2(k -2)x+5-k = 0 има два различни положителни корена.

[Davids]

Айде тук ще смяташ сам, нека разсъждаваме заедно обаче За да има квадратният тричлен два различни положителни корена, трябва:
1) коефициентът пред втората степен да не е $0$, за да си е квадратна все пак функцията
2) дискриминантата да е строго положителна, за да имаме два различни корена;

I подход:
3) по формулите за разпределение на корените на квадратен тричлен да поставим нулата пред двата корена, т.е.
[tex]\begin{array}{|l} x_0 > 0 \\ kf(0) > 0 \end{array}[/tex]
Това е. Решаваме смело!

II подход:
3) ползваш формулите на Виет за определяне на знака на корените. След като вече с дискриминантата сме се подсигурили, че ще са различни, остава да проверим кога и двата ще са положителни, т.е. трябва да имат положителен сбор и положително произведение. Това е, пак решаваме смело

[S.B.]

[tex]x^{2}[/tex] - 2(k - 2)x + 5 -k = 0
Ако k=0 тогава уравнението се превръща в линейно 4х + 5 = 0,с единствн корен х = - [tex]\frac{5}{4}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] k[tex]\ne[/tex]0
За да има 2 различни корена [tex]x_{1 }[/tex][tex]\ne[/tex][tex]x_{2 }[/tex] трябва D>0:
D = 4[tex](k - 2)^{2}[/tex] - 4к(5 - k) = 4([tex]k^{2}[/tex] - 9k + 4) = 8(k - 4)(k - [tex]\frac{1}{2}[/tex]) > 0
От тук,като съобразим,че k[tex]\ne[/tex]0 получаваме: k[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex] , 0)[tex]\cup[/tex] ( 0 , [tex]\frac{1}{2}[/tex]) [tex]\cup[/tex] ( 4 , +[tex]\infty[/tex])
Щом искаме [tex]x_{1 }[/tex]> 0 и [tex]x_{2 }[/tex] > 0 според формулите на Виет: [tex]x_{1 }[/tex].[tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{c}{a}[/tex] = [tex]\frac{5 - k}{k}[/tex]> 0 и [tex]x_{1 }[/tex] + [tex]x_{2 }[/tex] = -[tex]\frac{b}{a}[/tex] = [tex]\frac{2(k - 2)}{k}[/tex] >0
[tex]\frac{5 -k}{k}[/tex] > 0 получаваме : k[tex]\in[/tex] (0 , 5) , a от [tex]\frac{2(k - 2)}{k}[/tex] > 0 получаваме:k[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex] ,0)[tex]\cup[/tex] (2 , +[tex]\infty[/tex])
От k[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex],0)[tex]\cup[/tex](0,[tex]\frac{1}{2}[/tex])[tex]\cup[/tex](4,+[tex]\infty[/tex])
и k[tex]\in[/tex](0,5)
и k[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex],0)[tex]\cup[/tex](2 , +[tex]\infty[/tex])
[tex]\Rightarrow[/tex] k [tex]\in[/tex](4 , 5)

[Koz3la]

Получих верен отговор 18 дали е вярно?!?

[Добромир Глухаров]

Получих верен отговор 18 дали е вярно?!?

Аз пък получих 3.

[Koz3la]

Малко насоки?

[Добромир Глухаров]

Тази задача е решена ТУК.

Има и друг начин: в $\Delta CC_1B\angle C_1BC=30^\circ\Rightarrow BC=\frac{BC_1}{cos30^\circ}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=3$

[Koz3la]

Малко помощ за 14 задача?!?

[Davids]

При стандартни означения имаш, че $KL || AB$, следователно $\Delta KLC \sim \Delta ABC$ с коефициент на подобие $k = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$.
Паралелно с това имаме $AK = BL = \frac{AB}{2} = 7,5$. Тогава, ако означим $KC = LC = x$, то $\frac{x}{x + 7,5} = \frac{2}{5}$. Оттам $x = 5$, тоест бедрото е $AC = BC = x + 7,5 = 12,5 = \frac{25}{2}$.
Тогава полупериметърът $p = \frac{12,5 + 12,5 + 15}{2} = 20$. И за лицето имаме:
$S_{abc} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{20.(\frac{15}{2})^2.5} = \frac{15}{2}.10 = 75$
Паралелно с това $S = 75 = pr = 20r \Rightarrow r = \frac{75}{20} = \frac{15}{4} = 3,75$

[Koz3la]

Малко помощ за ромб вписан в триъгълник?!?

[Davids]

Като за начало $AM = AP = PN = x$ ще е страната на ромба. Тогава от подобието $\Delta PNC \sim \Delta ABC$ имаш отношението:
$\frac{PC}{AC} = \frac{PN}{AB}$
$\Leftrightarrow \frac{4-x}{x} = \frac{x}{6} \Rightarrow x = 2,4$ ти е страната на ромба.