И отново пирамида...

[S.B.]

За основа на пирамида служи правоъгълен триъгълник с катети 21 см и 28 см.Околните стени на пирамидата,които минават през катетите сключват с равнината на основата ъгли = 60[tex]^\circ[/tex],а околните ръбове минаващи през краищата на хипотенузата са равни.Да се определи обема на пирамидата.

[Davids]

BestePyramideAlter.png (40.32 KiB) Прегледано 495 пъти

Хубава задача, трябва да кажа! Само дето тая пирамида от никой ъгъл не изглежда достатъчно пристойно, така че всичко да й се вижда както трябва, та за да не пренатрупвам чертежа, ще оставя този път повечко на въображението на читателя (да си го проектира по чертежа спрямо описанията )
Така, основата съм я обърнал - тя е триъгълник $\Delta ABC$ с прав ъгъл при върха $C$ и катети $BC = 21; AC = 28$. Негови линейни елементи можем да пресметнем много, но те не са ни нужни - ключът към решението на задачата е именно в построението на самата пирамида и звисимостите около него. Като за начало ще положа все още неизвестната височина на пирамидата да е $MH =h$.

Първо знаем, че околните стени през катетите сключват равни ъгли с равнината на основата (по 60 градуса всеки), следователно проекцията на върха на пирамидата върху равнината на основата лежи някъде върху ъглополовящата на $\angle C$. От друга страна знаем, че околните ръбове, свързващи върха на пирамидата с краищата на хипотенузата на основата, са равни - следователно и техните ортогонални проекции $BH$ и $AH$ (на чертежа) също са равни. Да, обаче знаем, че на равни разстояния от краищата на отсечка се намират само точки, лежащи на нейната симетрала. Следователно проекцията на върха на пирамидата лежи не само върху ъглополовящата на $\angle C$, но и на симетралата на $AB$. Оттам вече знаем, че тази проекция е именно пресечната точка на тези две прави. На чертежа е точка $H$, нали.
Непосредствено от това следват две неща:
(I) понеже точка $H$ е от ъглополовящата на правия ъгъл, то значи разстоянията от нея до катетите са равни: $HK = HL = x$. И понеже тези разстояния са перпендикулярни на катетите, имаме $CK \bot HK$, а от височината имаме и $CK \bot h$, следователно $CK \bot (MKH)$, откъдето и $CK \bot MK$, откъдето непосредствено следва, че линейният ъгъл между равнината на околната стена $KCM$ и равнината на основата е именно $\angle HKM = 60^{\circ}$. Аналогично и $\angle HLM = 60^{\circ}$.
(II) както вече казахме, $AH = BH = y$.

Положихме $x$ и $y$ и сега останаха две Питагорови теореми:
1) $\Delta HBK \Rightarrow y^2 = (x - 21)^2 + x^2$
2) $\Delta HAL \Rightarrow y^2 = (28 - x)^2 + x^2$
Приравняваме двата израза, откъдето получаваме $x = \frac{49}{2}$.

Сега от $\Delta HKM \Rightarrow \frac{x}{h} = cotg60 \Rightarrow h = \frac{x}{cotg60} = \sqrt{3}x = \frac{49\sqrt{3}}{2}$

Обемът вече е лесен: $V = \frac{Bh}{3} = \frac{1}{3}.\frac{21.28}{2}.\frac{49\sqrt{3}}{2} = 7^4\sqrt{3}$