Задачи от кандидат-студентски изпит ТУ София

[nutb0ll]

Здравейте, това предполагам са лесни задачи, но да ..

1)Да се реши неравенството: [tex]x^{2}+\sqrt{3}<(1+\sqrt{3})x[/tex]
Отг: [tex]x\in(1;\sqrt{3})[/tex]

2)Да се намери най-малката стойност на функцията [tex]f(x)=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}[/tex] в затворения интервал [tex][1;4][/tex]
Отг: [tex]f(3)=2[/tex]

3)Да се намери [tex]tg\alpha[/tex], ако [tex]\frac{7sin\alpha+13cos\alpha}{5sin\alpha-17cos\alpha}=3[/tex]
Отг: [tex]tg\alpha=8[/tex]

[Петър Евгениев]

Здравейте, това предполагам са лесни задачи, но да ..

1)Да се реши неравенството: [tex]x^{2}+\sqrt{3}<(1+\sqrt{3})x[/tex]
Отг: [tex]x\in(1;\sqrt{3})[/tex]

2)Да се намери най-малката стойност на функцията [tex]f(x)=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}[/tex] в затворения интервал [tex][1;4][/tex]
Отг: [tex]f(3)=2[/tex]

3)Да се намери [tex]tg\alpha[/tex], ако [tex]\frac{7sin\alpha+13cos\alpha}{5sin\alpha-17cos\alpha}=3[/tex]
Отг: [tex]tg\alpha=8[/tex]

Задача 1. [tex]x^{2}+\sqrt{3}<(1+\sqrt{3})x[/tex]
Работи рационално и ще ти се получава хубаво, ако сметката изглежда нечовешко ирационална, то това ти подсказва ,че ще има някаква хитрина, която ще улесни работата.
$$x^{2}+\sqrt{3}-x-\sqrt{3}x<0$$
$$x^{2}-x+\sqrt{3}(1-x)<0 \Rightarrow x(x-1)+\sqrt{3}(1-x)<0$$
След като го погледнеш виждаш, че трябва да израш едни минус от коя да е скоба, не втората:
$$x(x-1)-\sqrt{3}(x-1)<0 \Rightarrow (x-1)(x-\sqrt{3})<0$$
Трудната работа свърши. [tex]x=1, x=\sqrt{3}[/tex], Подреждаш ги на числовата ос почваш от дясно наляво да слагаш знаци като почнаш с плюс защото пред най-високата степен на хикс има +. И взимаш интервала с минус, ако си го направиш ще видиш. [tex]x\in(1;\sqrt{3})[/tex]
Ако се налага ще ти го нарисувам на пейнт как излежда метода на интервалите, но вярвам, че го знаеш.

Задача 3. $$\frac{7sin\alpha+13cos\alpha}{5sin\alpha-17cos\alpha}=3$$
$$7sin\alpha+13cos\alpha=15sin\alpha-51cos\alpha \Rightarrow -8sin\alpha=-64cos\alpha |:(-8) \Rightarrow sin\alpha=8cos\alpha$$
И сега само трябва да знаеш какво е тангенс.
[tex]tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{8\cancel{cos\alpha}}{\cancel{cos\alpha}}=8[/tex]

[Davids]

20180508_213232.jpg (1.53 MiB) Прегледано 543 пъти

[Петър Евгениев]

Задача 2. [tex]f(x)=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}[/tex]
Производната на фунцкия от вида:[tex]f(x)=\frac{g(x)}{m(x)}[/tex] се намира по следния начин.
[tex]f'(x)=\frac{g'(x)m(x)-g(x)m'(x)}{m^{2}}[/tex]
[tex]f(x)=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}=\frac{x^{2}+9}{3x}[/tex]
Тоест в нашия случай [tex]g(x)=x^{2}+9 \Rightarrow g'(x)=2x[/tex] и [tex]m(x)=3x \Rightarrow m'(x)=3[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{2x.3x-(x^{2}+9).3}{9x^{2}}=\frac{6x^{2}-3x^{2}-27}{9x^{2}}=\frac{(x-3)(x+3)}{3x^{2}}[/tex]
Когато производната е положителна [tex]f(x) \nearrow[/tex], когато е отриц [tex]f(x) \searrow[/tex]
Критичните точки са [tex]x=3, x=-3 , x\ne 0[/tex]

Webp.net-resizeimage (1).png (42.33 KiB) Прегледано 543 пъти

Така разбрахме, че:
$$f(x) \nearrow x\in(-\infty;-3]\cup(0;3], f(x) \searrow x\in[-3;0)\cup[3;+\infty)$$
Нас ни интересува кога [tex]\searrow[/tex], защото търсим [tex]min[/tex].
Та взимаме интервала на [tex]\nearrow: x\in(-\infty;-3]\cup(0;3][/tex] и като го сложим на една ос с [tex]x\in[1;4][/tex]
Виждаме , че има общо [tex]x\in[1;3][/tex], т.е от интервала [tex]x\in[1;4][/tex] който разглеждаме от 1 до 3 намалява.
Или [tex]x=3 \Rightarrow f_{min}(3)=2[/tex]

[Knowledge Greedy]

На фона на аналитичните решения, предлагам и нещо алгебрично.
2. Решението по-долу е достъпно и за осмокласници.
Понеже [tex]\left [ 1;4 \right ][/tex] е интервал от положителни числа, а за тях е изпълнено неравенството между средно аритметичното и средно геометричното - в случая на [tex]\frac{x}{3}[/tex] и [tex]\frac{3}{x}[/tex], то [tex]\frac{\frac{x}{3}+\frac{3}{x}}{2} \ge \sqrt{\frac{x}{3}.\frac{3}{x}}[/tex]
Последното е равносилно на [tex]\frac{x}{3}+\frac{3}{x} \ge 2[/tex], следователно [tex]\forall x \in \left [ 1;4 \right ][/tex],
което означава, че [tex]f(x)\ge 2[/tex]
Равенството в СА-СГ се достига тогава и само тогава, когато [tex]\frac{x}{3}=\frac{3}{x}[/tex] , а то е изпълнено единствено за [tex]x=3\in \left [ 1;4 \right ][/tex]
__________
Уважаващите себе си автори на учебници включват задължително по 4-5 задачи с използване на неравенства между средните, независимо за какви ученици са предназначени учебниците.
В крайна сметка повечето от тези задачи могат да бъдат сведени и до отделяне на точен квадрат.
Ето и такова решение.
__________
Записваме [tex]f(x)[/tex] във вида [tex]f(x)=\left (\sqrt{ \frac{x}{3}} \right )^2-2\sqrt{ \frac{x}{3}} \sqrt{ \frac{3}{x}} + \left (\sqrt{ \frac{3}{x}} \right )^2+2[/tex]
Следователно [tex]f(x)=\left (\sqrt{ \frac{x}{3}}-\sqrt{ \frac{3}{x}} \right )^2+2[/tex]
Всеки квадрат (работим в полето на реалните числа) е неотрицателен, ето защо [tex]f(x)\ge 2[/tex] и равенство се достига точно тогава, когато квадратът е нула. Следователно при [tex]x=3\in \left [ 1;4 \right ][/tex] се достига най-малката стойност [tex]2[/tex] на дадената функция.
__________
Искам да обърна внимание и на определението.
Когато [tex]\forall x: \,\ x \in \left [ 1;4 \right ] \,\ \Rightarrow f(x) \ge 2[/tex], като при това съществува [tex]x_0\in \left [ 1;4 \right ][/tex] със свойството [tex]f(x_0)=2[/tex], казваме, че числото [tex]2[/tex] е най-малка стойност на функцията [tex]f(x)[/tex] в интервала [tex]\left [ 1;4 \right ][/tex]
Записваме [tex]\underset{x \in \left [ 1;4 \right ]}{max}f(x)=f(x_0)=2[/tex],
в случая [tex]x_0=3[/tex].