Аритметична прогресия

[S.B.]

Сумата на първите 4 члена на аритметична прогресия е 24,а на последните 4 члена е 88.[tex]S_{n }[/tex]= 168.Намерете прогресията.

[Петър Евгениев]

Сумата на първите 4 члена на аритметична прогресия е 24,а на последните 4 члена е 88.[tex]S_{n }[/tex]= 168.Намерете прогресията.

Това е аритметична прогресия с общо [tex]n=12[/tex] члена, първи член [tex]a_{1}=3[/tex] и разлика [tex]d=2[/tex]

[S.B.]

Сумата на първите 4 члена на аритметична прогресия е 24,а на последните 4 члена е 88.[tex]S_{n }[/tex]= 168.Намерете прогресията.

Това е аритметична прогресия с общо [tex]n=12[/tex] члена, първи член [tex]a_{1}=3[/tex] и разлика [tex]d=2[/tex]

Така е,но да беше го разписал та и другите хора да видят как се получава

[ева]

[tex]a{1 }[/tex]=? d=? n=?

[tex]\frac{a_{1 }+a_{4 }}{2}[/tex].4=24 [tex]\Rightarrow[/tex] 2[tex]а_{1 }[/tex]+3d=12 (1)

[tex]\frac{2a_{1 }+(n-1)d}{2}[/tex].n=168 (2)

Като махнем първите 4 члена и последните 4 члена,ще остане ар.прогресия с брой членове n-8,d=d,[tex]a_{1 }[/tex]=[tex]a_{5 }[/tex] и S=56.
За нея важи:

[tex]\frac{2а_{5 }+[(n-8)-1]d}{2}[/tex].(n-8)=56 (3)

Като решим с-та от трите уравнения,получаваме-[tex]а_{1 }[/tex]=3,d=2,n=12.

[S.B.]

Ето и моето решение:Използвам свойството на аритметичната прогресия,според което сборовете от равноотдалечените членове на прогресията са равни:
[tex]\begin{array}{|l} а_{1 } + а_{n }= t \\ a_{2 } + a_{n-1 } = t\\a_{3 } + a_{n-2 } = t\\a_{4 } + a_{n-3 } = t \end{array}[/tex] Събирам почленно и получавам: ([tex]а_{1 }[/tex] + [tex]a_{2 }[/tex] + [tex]a_{3 }[/tex] + [tex]a_{4 }[/tex]) + ([tex]a_{n-3 }[/tex] + [tex]a_{n-2 }[/tex] + [tex]a_{n-1 }[/tex] + [tex]a_{n }[/tex]) = 4t
Получи се,че 24 + 88 = 4t от където t = 28 [tex]\Rightarrow[/tex] сборът на равноотдалечените членове на прогресията е 28;
[tex]S_{n }[/tex] = [tex]\frac{a_{1 } + a_{n }}{2}[/tex].n или [tex]\frac{28}{2}[/tex].n = 168 и броят на членовете n=12;
[tex]\begin{array}{|l} a_{1 } + a_{2 } + a_{3 } + a_{4 } = 24 \\ a_{9 } + a_{10 } + a_{11 } + a_{12 } = 88 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} 4a_{1 } + 6d = 24 \\ 4a_{1 } + 38d = 88 \end{array}[/tex] От където d = 2 и [tex]a_{1 }[/tex] = 3
Прогресията е : 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19 , 21 , 23 , 25