Екстремална задача

[Hephaestus]

Да се намери максималната стойност на лицето на [tex]\triangle ABC[/tex], за който е дадено, че [tex]BC = 120[/tex] [tex]cm[/tex] и [tex]AB = 11AC[/tex].

[Добромир Глухаров]

Нека $AC=b\Rightarrow AB=11b$

$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{11b+120+b}{2}=60+6b$

$p-AB=60-5b$
$p-BC=6b-60$
$p-AC=60+5b$

$S^2=p(p-AB)(p-BC)(p-AC)=(60+6b)(60-5b)(6b-60)(60+5b)=6.6.(10+b)(b-10).5.5.(12-b)(12+b)=30^2.(b^2-100)(144-b^2)>0\Rightarrow b\in(10;12)$

$\sqrt{(b^2-100)(144-b^2)}\leq\frac{(b^2-100)+(144-b^2)}{2}=22$

$S=30.\sqrt{(b^2-100)(144-b^2)}\leq30.22=660$

$S_{max}=660$ и се достига за $b^2-100=144-b^2\Rightarrow b^2=122\Rightarrow b=\sqrt{122}\Rightarrow AB=11\sqrt{122};\ BC=120;\ AC=\sqrt{122}$