Система

[ева]

[tex]\begin{array}{|l} x^{3}+3ху^{2}=63 \\ 3x^{2}у+у^{3}=62 \end{array}[/tex]

Скрит текст: покажи

Да дадем 1 ден на кандидат-студентите.

[S.B.]

[tex]\begin{array}{|l} x^{3} + 3хy^{2} = 63 \\ 3x^{2}y + y^{3} = 62 \end{array}[/tex] Събирам почленно и получавам: [tex]x^{3}[/tex] + 3[tex]x^{2}[/tex]y + 3x[tex]y^{2}[/tex] + [tex]y^{3}[/tex] = 125 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex](x + y)^{3}[/tex] = 125 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex](x + y)^{3}[/tex] = [tex]5^{3}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} x^{3} + 3xy^{2} = 63 \\3x^{2}y + y^{3} = 62 \end{array}[/tex] Умножавам второто по (-1) , събирам почленно и получавам: [tex]x^{3}[/tex] - 3[tex]x^{2}[/tex]y + 3x[tex]y^{2}[/tex] - [tex]y^{3}[/tex] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex](x - y)^{3}[/tex] = 1
От получените резултати образувам система:
[tex]\begin{array}{|l} (х + y)^{3} = 5^{3}\\ (x - y)^{3}= 1 \end{array}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{array}[/tex] чрез почленно събиране се получава :2х = 6 или х = 3 и съответно y = 2;
Отговор (3;2)

[Genie_Almo]

След като така или иначе не спазихме еднодневния "carte blanche" за кандидат-студенти, ето още едно подобно решение с други аритметични действия. Все пак един ден за задача е много за сериозни кандидат-студенти

Вадим от първото уравнение второто и пак стигаме до $(x-y)^3=1 \Rightarrow x=y+1$

Заместваме $x$ в първото уравнение.

$(y+1)^3+3(y+1)y^2=63 \Rightarrow 4y^3+6y^2+3y+1=63 $

Умножаваме по 2, след което вадим 1 от двете страни на уравнението:

$8y^3+12y^2+6y+1=125 \Rightarrow (2y+1)^3 = 5^3 $

И от тук $y=2$ и съответно $x=y+1=3$