Равнобедрен триъгълник

[S.B.]

Даден е равнобедрен триъгълник с височина към основата 10 см. и височина към бедрото 12 см.Да се намери:
а)лицето на дадения триъгълник;
б) лицата на триъгълниците ,на които височините разделят дадения триъгълник.

[Петър Евгениев]

Даден е равнобедрен триъгълник с височина към основата 10 см. и височина към бедрото 12 см.Да се намери:
а)лицето на дадения триъгълник;
б) лицата на триъгълниците ,на които височините разделят дадения триъгълник.

Здравей, за големия триъгълник получавам 75 квадратни см.
Ако не съм сбъркал ще я снимам задачката, че съм от таблета.

[Davids]

Нека $CH = 10$ е височината към основата, а $BH_1 = 12$ е височината към бедрото $AC$. Тогава от правоъгълните $\Delta ACH$ и $\Delta ABH_1$ имаме по определение за синус:
$sin \angle BAC = \frac{10}{b} = \frac{12}{a} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{6}{5}$ ($a$ и $b$ са респективно основата и бедрото).
Отделно по Питагор имаме от $\Delta ACH$:
$b^2 = 100 + \frac{a^2}{4} = 100 + \frac{36b^2}{100}$
Оттам директно $b = \frac{25}{2}$, съответно $a = 15$ и лицето става $S = \frac{15.10}{2} = 75cm^2$

[Петър Евгениев]

Нека $CH = 10$ е височината към основата, а $BH_1 = 12$ е височината към бедрото $AC$. Тогава от правоъгълните $\Delta ACH$ и $\Delta ABH_1$ имаме по определение за синус:
$sin \angle BAC = \frac{10}{b} = \frac{12}{a} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{6}{5}$ ($a$ и $b$ са респективно основата и бедрото).
Отделно по Питагор имаме от $\Delta ACH$:
$b^2 = 100 + \frac{a^2}{4} = 100 + \frac{36b^2}{100}$
Оттам директно $b = \frac{25}{2}$, съответно $a = 15$ и лицето става $S = \frac{15.10}{2} = 75cm^2$

Дап, или от лица(основа по височина към нея върху две, изразяваш или бедрото чрез основата, или обратно после една Питагорова теорема [tex]\triangle AHC[/tex] заместваш, което си изразил и така получаваш или основат, или бедрото на триъгълника знаеш двете височини и готово.

[S.B.]

Да,това е отговора на а);Не ви отговорих веднага,защото се занимавах с изискванията на "пропорционалния рибар"

[S.B.]

б)[tex]\triangle[/tex]ABC,AC = BC; CH[tex]\bot[/tex]AB, CH=10;AK[tex]\bot[/tex]BC,AK=12; Ще използвам резултатите получени от Davids и Петър Евгениев в т.а) :
АB =15 и [tex]S_{ABC }[/tex] = 75;Търсим лицата на всички триъгълници на които [tex]\triangle[/tex]АBC се разделя от двете височини.
Нека AK X CH = т.P;Ще намерим дължините отсечките на които т.P разделя височините.
Нека [tex]\angle[/tex]ABC = [tex]\beta[/tex] ,тогава [tex]\angle[/tex]BAK = [tex]\angle[/tex]BCH = 90[tex]^\circ[/tex] - [tex]\beta[/tex]; От [tex]\triangle[/tex]ABK:sin[tex]\beta[/tex] = [tex]\frac{AK}{AB}[/tex] = [tex]\frac{12}{15}[/tex] или sin[tex]\beta[/tex]= [tex]\frac{4}{5}[/tex] , cos[tex]\beta[/tex] = [tex]\frac{3}{5}[/tex] ;
За [tex]\triangle[/tex]AHP,правоъгълен: [tex]\angle[/tex]HAP = 90[tex]^\circ[/tex] - [tex]\beta[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]APH = [tex]\beta[/tex] и sin[tex]\beta[/tex] = [tex]\frac{AH}{AP}[/tex] или [tex]\frac{7,5}{АP}[/tex] = [tex]\frac{4}{5}[/tex] от където AP = [tex]\frac{75}{8}[/tex] , PK = 12 - [tex]\frac{75}{8}[/tex]
Или PK = [tex]\frac{21}{8}[/tex]; [tex]\frac{PH}{AP}[/tex] = cos[tex]\beta[/tex] от където PH = AP.cos[tex]\beta[/tex] или PH = [tex]\frac{75}{8}[/tex].[tex]\frac{3}{5}[/tex] от където PH = [tex]\frac{45}{8}[/tex] , a PC = 10 - [tex]\frac{45}{8}[/tex] Или PC = [tex]\frac{35}{8}[/tex];
[tex]S_{APC }[/tex] = [tex]\frac{AP.PC}{2}[/tex].sin[tex]\angle[/tex]APC = [tex]\frac{\frac{75}{8}.\frac{35}{8}}{2}[/tex].[tex]\frac{4}{5}[/tex] [tex]\approx[/tex]16,4; [tex]S_{ABK }[/tex] = [tex]\frac{AB.AK}{2}[/tex].sin[tex]\beta[/tex] = [tex]\frac{\frac{45}{8}.\frac{75}{8}}{2}[/tex].[tex]\frac{4}{5}[/tex][tex]\approx[/tex]21,09;
[tex]S_{CPK }[/tex] = [tex]\frac{CP.PK}{2}[/tex]. sin[tex]\beta[/tex] = [tex]\frac{\frac{35}{8}.\frac{21}{8}}{2}[/tex].[tex]\frac{4}{5}[/tex][tex]\approx[/tex]4,59 ; [tex]S_{ABK }[/tex] = [tex]\frac{AB.AK}{2}[/tex].sin(90 - [tex]\beta[/tex] ) = [tex]\frac{15.12}{2}[/tex].[tex]\frac{3}{5}[/tex] = 54 ;
[tex]S_{AKC }[/tex] = 75 - 54 = 21; [tex]S_{AHC }[/tex] = [tex]S_{BHC }[/tex] = [tex]\frac{75}{2}[/tex] = 37,5