Правоъгълен триъгълник

[S.B.]

Даден е [tex]\triangle[/tex]ABC,в който [tex]\angle[/tex]C = 90[tex]^\circ[/tex],a [tex]\angle[/tex]B = 30[tex]^\circ[/tex].Точка Q[tex]\in[/tex]BC.Описана е полуокръжност k с диаметър = CQ и център O[tex]\in[/tex]BC,която се допира до AB в т.М.Правата AQ пресича окръжността k в т.P.Да се определи отношението AP:PQ.

[Davids]

Тъй като има ъгъл 30 градуса, то $AB = 2AC$. Обаче от свойството на допирателните към окръжност имаме $AC = AM$, следователно т.$M$ е среда на хипотенузата. Означаваме $AC = AM = MB = x$ и $BQ = y$.
Понеже $OM \bot AB$, тъй като е радиус към тангента в окръжността, то значи $\frac{r}{r + y} = \frac{1}{2}$, откъдето неминуемо $r = y$. Тогава $CO = OQ = BQ = r = y = \frac{\sqrt{3}x}{3}$ (три равни части от бедрото, равно на $\sqrt{3}x$).

Нека сега означим частите, чиито отношение търсим, с $AP = m$ и $PQ = n$. Тогава от свойството на допирателната имаме, че:
$x^2 = m(m + n)$
Но паралелно с това от косинусова теорема за $\Delta ABQ$:
$(m+n)^2 = y^2 + 4x^2 - 2.2x.ycos30^{\circ} = ... = 3x^2$

Оттам веднага $m + n = \sqrt{3}x$, а замествайки в горното, получаваме:
$x^2 = m.\sqrt{3}x$
$\Rightarrow m = \frac{x}{\sqrt{3}}$
Връщаме се в сбора, откъдето изразяваме $n = \sqrt{3}x - m = \frac{2x}{\sqrt{3}}$
И окончателно $\frac{AP}{PQ} = \frac{m}{n} = \frac{1}{2}$

[S.B.]

Oтговор: [tex]\frac{AP}{PQ}[/tex] = [tex]\frac{3}{4}[/tex]

[123a]

нека $QB=t=>BC=3t$

Триъгълник AMC е равностранен и $\angle$$CMB=120=>$ Триъгълник MBC е равнобедрен и $AC=AM=MB=CM=x=>AB=2x$

Прилагаме П.Т за триъгълник ABC
$x^2+9t^2=4x^2$

$9t^2=3x^2=>t=\frac{x\sqrt{3}}{3}$


$AQ^2=AC^2+CQ^2=x^2+(2\frac{x\sqrt{3}}{3})^2=x^2+\frac{4x^2}{3}=\frac{7x^2}{3}=>AQ=\frac{x\sqrt{21}}{3}$

Понеже CQ е диамитър, от тук следва че СМ е перпендикулярна на MQ. [tex]\angle[/tex]$CMQ$=$\angle$$CPQ=90=> CP$ е височина в тръгълниик AQC.
Изразяваме лицето на тиръгълник AQC по два начина и приравняваме, откъдето намираме дължината на CP.
$S_{AQC}=AC.CQ=CP.AQ=>x.2\frac{x\sqrt{3}}{3}=\frac{x\sqrt{21}}{3}.CP=>CP=\frac{2x\sqrt{7}}{7}$

С Питагорови теореми намираме AP и PQ.
$AP^2=AC^2-CP^2=x^2-\frac{28x^2}{49}=>AP=\frac{x \sqrt{21}}{7}$

$PQ^2=CQ^2-PC^2=\frac{4x^2}{3}-\frac{28x^2}{49}=\frac{112x^2}{3.49}=x^2\frac{16}{21}=>PQ=\frac{4x\sqrt{21}}{21}$

И така:

$\frac{AP}{PQ}=\frac{\frac{x \sqrt{21}}{7}}{\frac{4x\sqrt{21}}{21}}=\frac{3}{4}$