Множество от функционални стойности

[Hephaestus]

Дадена е функцията [tex]f(x) = \frac{x+4}{\sqrt{x^{2}+5}}[/tex].
а) Да се намери множеството от стойностите на функцията;
б) Да се реши уравнението [tex]tg(\pi f(x)) = 0[/tex] .

[Knowledge Greedy]

[tex]f(x)=\frac{x+4}{\sqrt{x^2+5}}[/tex]
а)
Решавайки неравенството [tex]\frac{x+4}{\sqrt{x^2+5}}>-1[/tex], получаваме
[tex]\forall x \,\ \Rightarrow \frac{x+4}{\sqrt{x^2+5}}>-1[/tex]
При това [tex]\forall y \in (-1;1] \,\ \Rightarrow \,\ \exists x: f(x)=y \,\ (\ast)[/tex]
[tex]f(x)=1 \,\ \Leftrightarrow \,\ x=-\frac{11}{8}[/tex]

От друга страна [tex]\forall x \,\ \Rightarrow \,\ \frac{x+4}{\sqrt{x^2+5}} \le \frac{\sqrt{105}}{5}[/tex], като равенството се достига при [tex]x=\frac{5}{4}[/tex].
При това [tex]\forall y \in \left ( 1; \frac{\sqrt{105}}{5} \right ] \,\ \Rightarrow \,\ \exists x: f(x)=y \,\ (\ast \ast)[/tex]
Следователно множеството от стойности на [tex]f(x)[/tex] са всички реални числа от интервала [tex]\left (-1;\frac{\sqrt{105}}{5} \right ][/tex]

__________
[tex](\ast) \,\ и \,\ (\ast \ast)[/tex] По тези въпроси има още доста писане

__________

б) Тъй като [tex]tg\alpha=0[/tex] е изпълнено за [tex]\alpha =k\pi[/tex], при цели [tex]k[/tex], тук е достатъчно да бъде решено всяко от уравненията:
[tex]f(x)=0[/tex]
[tex]f(x)=1[/tex]
[tex]f(x)=2[/tex]
Първото има корен [tex]x=-4[/tex],
второто е с корен [tex]x=-\frac{11}{8}[/tex] - виж в подусловие а),
а за последното - нека се изкаже някой друг
(Корените са два - рационални, положителни, като единият даже е цял. )

[Hephaestus]

Да, такива са отговорите.
Ще изложа и моето решение, което не се различава значително от това на Knowledge Greedy.
a) Пресмятаме първата производна на функцията:

[tex]f'(x) = \left ( \frac{x+4}{\sqrt{x^{2}+5}} \right )' = \frac{\sqrt{x^{2}+5}-\frac{x+4}{\cancel 2\sqrt{x^{2}+5}}.\cancel 2x}{x^{2}+5} = \frac{x^{2}+5 - x^{2} - 4x}{(x^{2}+5)\sqrt{x^{2}+5}} = \frac{5-4x}{(x^{2}+5)\sqrt{x^{2}+5}}[/tex].

При [tex]x \in \left ( -\infty; \frac{5}{4} \right )[/tex] функцията расте, а при [tex]x \in \left ( \frac{5}{4}; +\infty \right )[/tex] намалява, а при [tex]x = \frac{5}{4}[/tex] функцията има локален максимум, равен на [tex]\sqrt{\frac{21}{5}}[/tex]. Пресмятаме границите на функцията при [tex]x \rightarrow -\infty[/tex] и [tex]x \rightarrow +\infty[/tex]:
[tex]\lim_{x \to -\infty}\frac{x+4}{\sqrt{x^{2}+5}}[/tex], тук полагаме [tex]x = -x \Rightarrow \lim_{x \to -\infty}\frac{x+4}{\sqrt{x^{2}+5}} = \lim_{x \to +\infty}\frac{-x+4}{\sqrt{x^{2}+5}} = -\lim_{x \to +\infty}\frac{\cancel x(1-\frac{4}{x})}{\cancel x\sqrt{1+\frac{5}{x^{2}}}} = -1[/tex].
Също така имаме [tex]\lim_{x \to +\infty}\frac{x+4}{\sqrt{x^{2}+5}} = \lim_{x \to +\infty}\frac{\cancel x(1+\frac{4}{x})}{\cancel x\sqrt{1+\frac{5}{x^{2}}}} = 1[/tex].
Следователно множеството от стойностите на функцията е [tex]f(x) \in \left ( -1; \sqrt{\frac{21}{5}} \right ][/tex].

б) Тъй като тангенсът е периодична функция, с период [tex]\pi[/tex], и [tex]tg\varphi = 0[/tex] за всяко [tex]\varphi = k\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex] , то уравнението [tex]tg(\pi f(x)) = 0[/tex] е еквивалентно на това да се реши уравнението [tex]f(x) = k[/tex], където [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex].
В а) намерихме, че [tex]f(x) \in \left ( -1; \sqrt{\frac{21}{5}} \right ][/tex]. Тъй като [tex]2 < \sqrt{\frac{21}{5}} = \sqrt{4,2} < 3[/tex], то трябва да се разгледат само случаите [tex]k = 0, k = 1, k = 2[/tex].

При [tex]k = 0 \Rightarrow x + 4 = 0 \Rightarrow x_{1 } = -4[/tex]
При [tex]k = 1 \Rightarrow x^{2} + 8x + 16 = x^{2} + 5 \Rightarrow 8x = -11 \Rightarrow x_{2 } = -\frac{11}{8}[/tex]
При [tex]k = 2 \Rightarrow x^{2} + 8x + 16 = 4x^{2} + 20 \Rightarrow 3x^{2} - 8x + 4 = 0 \Rightarrow x_{3 } = 2, x_{4 } = \frac{2}{3}[/tex].