Решете уравнението:

[S.B.]

[tex]\sqrt{(1 - tg^{2}\frac{x}{2})(cotg^{2}\frac{x}{2} - 1)}[/tex] = 4cosx

[Davids]

За по-удобно ще положа $y = \frac{x}{2}$.
Тогава ще работим с подкоренната величина на лявата страна:
$A = (1 - tg^2y)(cotg^2y - 1) = $
$= (1 - tg^2y)(\frac{1 - tg^2y}{tg^2y})$
$= \Big( \frac{(1 - tg^2y)}{tgy} \Big)^2$
Тогава $\sqrt{A} = |\frac{1 - tg^2y}{tgy}| = |\frac{\frac{cos^2y - sin^2y}{cos^2y}}{tgy}| = |\frac{cos2y}{cosysiny}| = |\frac{2cos2y}{sin2y}| = |2cotg2y| = |2cotgx|$
След като преобразувахме лявата страна, живота ни вече е по-лесен
$2|cotgx| = 4cosx$
$|cotgx| = 2cosx$
I случай: $cotgx = 2cosx \Rightarrow sinx = \frac{1}{2} \Rightarrow \boxed{x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \cup x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi}$
II случай: $cotgx = -2cosx \Rightarrow sinx = -\frac{1}{2} \Rightarrow \boxed{x = \frac{7\pi}{6} \cup x = \frac{11\pi}{6}}$

[KOPMOPAH]

Чудесно решение! От бързане малко си пооплескал резултатите на второто решение
Едно време, когато господ още ходеше по земята и учех в Математическата, ни учеха да представяме решенията като целочислен коефициент и дроб с числител $\pi$
Решението в "тогавашен" запис би изглеждало $(12k\pm 1)\frac{\pi}6 \cup (12k\pm 5)\frac{\pi}6$, а на теб, като човек естет, оставям възможността да намериш и още по-сбит отговор

[Добромир Глухаров]

А не може ли също $cosx=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}(1+2k)$ да бъде решение?

[Добромир Глухаров]

Освен това $cos\left(\pm\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}<0$, а дясната страна на уравнението ($4cosx$) трябва да бъде положителна, понеже вляво имаме радикал.

[S.B.]

[tex]\sqrt{(1 -tg^{2}\frac{x}{2})(cotg^{2}\frac{x}{2} - 1)}[/tex] = 4cosx
При цялото ми уважение и към двама Ви - Davids и КОРМОРАН ,преди всичко това е ирационално уравнение и е задължително 4cosx[tex]\ge[/tex]0
Oсвен това и sinx[tex]\ne[/tex]0
Но cos([tex]\frac{5\pi}{6}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex])<0, също cos([tex]\frac{7\pi}{6}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex])<0
Отговорът е: х = [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] + k[tex]\pi[/tex], x = +/- [tex]\frac{\pi}{6}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex],където k е произволно цяло число

[Davids]

Абсолютно съм съгласен, съвсем изключих

[ева]

Ще използвам формулите 1-[tex]tg^{2}[/tex][tex]\frac{х}{2}[/tex]=[tex]\frac{cosх}{cos^{2}\frac{х}{2}}[/tex] и [tex]cotg^{2}[/tex][tex]\frac{х}{2}[/tex]-1=[tex]\frac{cosх}{sin^{2}\frac{х}{2}}[/tex]

[tex]\sqrt{\frac{cosх}{cos^{2}\frac{х}{2}}.\frac{cosх}{sin^{2\frac{х}{2}}}}[/tex]=4cos х

[tex]\frac{2модул от cosх}{модул от sin х}[/tex]=4cosх ,но cos х[tex]\ge[/tex]0 (от Д.М.)

[tex]\frac{2cosх}{модул от sinх}[/tex]=4cosх

Имаме 2 случая: 1 сл.cosх=0 [tex]\Rightarrow[/tex] х=[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]+к[tex]\pi[/tex]
2 сл.cosх[tex]\ne[/tex]0 тогава делим на 2cosх [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{модул от sinх}[/tex]=2 [tex]\Rightarrow[/tex] sinх=[tex]\pm[/tex] [tex]\frac{1}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] х=[tex]\pm[/tex][tex]\frac{\pi}{6}[/tex]+2к[tex]\pi[/tex]

[Петър Евгениев]

Ще използвам формулите 1-[tex]tg^{2}[/tex][tex]\frac{х}{2}[/tex]=[tex]\frac{cosх}{cos^{2}\frac{х}{2}}[/tex] и [tex]cotg^{2}[/tex][tex]\frac{х}{2}[/tex]-1=[tex]\frac{cosх}{sin^{2}\frac{х}{2}}[/tex]

[tex]\sqrt{\frac{cosх}{cos^{2}\frac{х}{2}}.\frac{cosх}{sin^{2\frac{х}{2}}}}[/tex]=4cos х

[tex]\frac{2модул от cosх}{модул от sin х}[/tex]=4cosх ,но cos х[tex]\ge[/tex]0 (от Д.М.)

[tex]\frac{2cosх}{модул от sinх}[/tex]=4cosх

Имаме 2 случая: 1 сл.cosх=0 [tex]\Rightarrow[/tex] х=[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]+к[tex]\pi[/tex]
2 сл.cosх[tex]\ne[/tex]0 тогава делим на 2cosх [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{модул от sinх}[/tex]=2 [tex]\Rightarrow[/tex] sinх=[tex]\pm[/tex] [tex]\frac{1}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] х=[tex]\pm[/tex][tex]\frac{\pi}{6}[/tex]+2к[tex]\pi[/tex]

+1 точка за решението, само модул от нещо може да го запишете като сложите две вертикални черти и между тях напишете нещо.
модул от x [tex]\rightarrow |x|[/tex]
Стандартно има копче отдясно на "z", когато го цъкнете излиза "\", а когато цъкнете "shift+\=|".(Трябва да сте на латиница, когато изпълнявате стъпките).
Страхотна задача, страхотно решение.