Функция

[S.B.]

Да се намерят стойностите на параметъра [tex]\alpha[/tex],за които графиката на функцията
f(x) = [tex]x^{2}[/tex] + x.sin[tex]\alpha[/tex] + cos[tex]\alpha[/tex],
отсича от абцисната ос отсечка с най-голяма дължина.

[Knowledge Greedy]

Тъй като функцията [tex]f(x)[/tex] е квадратна, дължината на отсечката, за която става въпрос, ще определим от функцията [tex]\varphi ( \alpha) =\left |x_2-x_1 \right |[/tex]
[tex]\varphi ( \alpha) = \sqrt{1-4cos\alpha - cos^2\alpha}[/tex], защото [tex]D=sin^2\alpha - 4 cos\alpha =1-4cos\alpha - cos^2\alpha[/tex]
Оттук
[tex]max \varphi ( \alpha)[/tex] се достига точно тогава, когато [tex]cos\alpha =-1[/tex]
и търсената максимална дължина е [tex]2[/tex], при [tex]\alpha =(2k-1)\pi[/tex].
_________
Самата отсечка с максимална дължина е [tex]X_1X_2[/tex], където [tex]X_1\left (- 1 ; 0 \right )[/tex] и [tex]X_2\left ( 1 ; 0 \right )[/tex].

[S.B.]

След Greedy е много трудно,но въпреки това искам и аз да представя своето решение:
f(x) = [tex]x^{2}[/tex] + x.sin[tex]\alpha[/tex] + cos[tex]\alpha[/tex] отсича от абцисната ос отсечка [tex]X_{1 }[/tex][tex]X_{2 }[/tex] тогава когато D =[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] - 4cos[tex]\alpha[/tex] > 0;
Ако [tex]X_{1 }[/tex] е с координатаи ([tex]x_{1 }[/tex],0) , а [tex]X_{2 }[/tex] e с координати ([tex]x_{2 }[/tex],0) то дължината на [tex]X_{1 }[/tex][tex]X_{2 }[/tex] е:
I [tex]x_{1 }[/tex] - [tex]x_{2 }[/tex] I = [tex]\sqrt{(x_{1 } - x_{2 })^{2}}[/tex] =[tex]\sqrt{x_{1 }^{2} + x_{2 }^{2} -2x_{1 }x_{2 }}[/tex] = [tex]\sqrt{(x_{1 } + x_{2 })^{2} -4x_{1 }x_{2 }}[/tex]
Като заместим с формулите на Виет получаваме: I [tex]x_{1 }[/tex] - [tex]x_{2 }[/tex] I = [tex]\sqrt{sin^{2}\alpha - 4cos\alpha}[/tex] = [tex]\sqrt{D}[/tex]
D = [tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] - 4cos[tex]\alpha[/tex] = 1 - [tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] - 4cos[tex]\alpha[/tex] ;Нека cos[tex]\alpha[/tex] = t и от -1 [tex]\le[/tex] cos[tex]\alpha[/tex] [tex]\le[/tex] 1 [tex]\Rightarrow[/tex] t [tex]\in[/tex][-1 , 1];Тогава D(t) = -[tex]t^{2}[/tex] - 4t + 1
I [tex]x_{1 }[/tex] - [tex]x_{2 }[/tex]I = [tex]\sqrt{D(t)}[/tex] и ще трябва да се определи най голямата стойност на D(t) когато t[tex]\in[/tex][-1 ,1]
D'(t) = -2t -4 , -2t-4 > 0 ,t < -2 [tex]\Rightarrow[/tex] за t[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex] , -2 ) функцията расте,за t=-2 има max - но ние разглеждаме интервала [-1,1],който не се съдържа в (-[tex]\infty[/tex],-2)
В интервала (- 2 ,+[tex]\infty[/tex]) - функцията намалява.Тогава най голяма стойност ще бъде D(-1) = 4
Най - голяма стойност на I [tex]x_{1 }[/tex] - [tex]x_{2 }[/tex] I = [tex]\sqrt{4}[/tex] = 2 за t = -1
Но t = cos[tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\alpha[/tex] = -1[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\alpha[/tex] = (2k + 1)[tex]\pi[/tex]