Правоъгълен триъгълник

[S.B.]

Даден е правоъгълен [tex]\triangle[/tex]АBC с хипотенуза AB = 1 и [tex]\angle[/tex]ВАС = [tex]\alpha[/tex].Вписаната в триъгълника окръжност се допира до страните АВ и АС съответно в точките M и N.Да се докаже,че:
а) MN = [tex]\sqrt{sin^{2}\alpha - sin^{3}\alpha}[/tex] ;
б) MN [tex]\le[/tex] [tex]\frac{2\sqrt{3}}{9}[/tex] .

[Петър Евгениев]

Даден е правоъгълен [tex]\triangle[/tex]АBC с хипотенуза AB = 1 и [tex]\angle[/tex]ВАС = [tex]\alpha[/tex].Вписаната в триъгълника окръжност се допира до страните АВ и АС съответно в точките M и N.Да се докаже,че:
а) MN = [tex]\sqrt{sin^{2}\alpha - sin^{3}\alpha}[/tex] ;
б) MN [tex]\le[/tex] [tex]\frac{2\sqrt{3}}{9}[/tex] .

Аз на а) получавам ,че [tex]MN=sin\alpha(cos\frac{\alpha}{2}-sin\frac{\alpha}{2})[/tex] потърсих си грешката, но не намерих, щях да пиша цялото решение, т.е как съм стигнал до това(бърем някой открие грешка), но нещо [tex]LATEX[/tex]-а ми се опъваше и му се ядосах , но все пак пускам какво съм получил вслучай, че е така...
Лека вечер от мен!

Untitled.png (271.01 KiB) Прегледано 430 пъти

[S.B.]

В условието е е казано: Да се докаже,че МN = [tex]\sqrt{sin^{2}\alpha - sin^{3}\alpha}[/tex].
Ако вече с и изморен - остави за утре!Никой не те гони за срокове!

[Nathi123]

AM=AN=p - a [tex]\Rightarrow AM = AN = \frac{b + 1 - a }{2}[/tex] ( с = 1 по условие ). От синусова т - ма за триъг. AMN
[tex]\Rightarrow \frac{MN}{sin\alpha} = \frac{AM }{sin( 90^\circ- \alpha)}\Leftrightarrow MN = \frac{b + 1 - a }{2}.\frac{sin\alpha}{cos\frac{\alpha}{2}}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow MN = ( b + 1 - a ).sin\frac{\alpha}{2} ; a = sin\alpha ; b = cos\alpha \Rightarrow MN = ( cos\alpha + 1 - sin\alpha ).sin\frac{\alpha}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow MN = ( 2cos^{2}\frac{\alpha}{2}-2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}).sin\frac{\alpha}{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]MN = 2 sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2} ( cos\frac{\alpha}{2} - sin\frac{\alpha}{2} )=sin\alpha \sqrt{sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}+cos^{2}\frac{\alpha}{2}}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow MN = \sqrt{sin^{2}\alpha( 1-sin\alpha)}=\sqrt{sin^{2}\alpha-sin^{3}\alpha}[/tex].

[Nathi123]

б) [tex]\alpha \in ( 0^\circ,90^\circ ) \Rightarrow sin\alpha\in ( 0,1) ;[/tex] нека sin[tex]\alpha = t \Rightarrow t\in ( 0,1)[/tex]
[tex]f(\alpha) = sin^{2}\alpha - sin^{3}\alpha\Rightarrow F(t) = t^{2}-t^{3} ; t\in ( 0,1) \Rightarrow F'(t) = 2t-3t^{2}=t(2 - 3t ) =0\Leftrightarrow t =o \cup t= \frac{2}{3}\Rightarrow F_{max ; t\in (0,1)} = F(\frac{2}{3}) = \frac{4}{27}[/tex]
[tex]\Rightarrow MN\le \sqrt{\frac{4}{27}} \Leftrightarrow MN \le \frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9} ; ( \sqrt{x}[/tex] е растяща функция ).