Конкурсен изпит , СУ 22.07.1999 г.задача 2

[S.B.]

Точките H и L лежат съответно на страните AB и AC на [tex]\triangle[/tex]АBC,като CH[tex]\bot[/tex]AB и [tex]\angle[/tex]ABL = [tex]\angle[/tex]CBL.Нека CP = LP,където P е пресечната точка на CH и BL.
a) Да се изрази BL чрез a и c ,където a = BC и c = AB;
б) Ако BC = 1, да се намери дължината на AB , при която дължината на BL е най - голяма.

[Добромир Глухаров]

$a)\ BL=c\sqrt{\frac{3a-c}{a+c}}$

$b)\ AB=\sqrt{3}$

Аз, честно казано, затънах в тригонометрия, така, че не съм съвсем сигурен в отговорите, които получих.

[S.B.]

Да ,това са отговорите!

[S.B.]

Благодаря на Добромир Глухаров за това,че реши задачата и получи отговорите,но аз считам,че след като съм постнала условието на задачата мое задължение е и да я разпиша,за да може да се ползва от всички желаещи.
Дадено [tex]\triangle[/tex]АBC,CH[tex]\bot[/tex]AB,BL - ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]АBC, като L[tex]\in[/tex]AC;CH X BL = т.P,CP = LP,AB = c ,BC = a ;Търсим BL
а)Нека [tex]\angle[/tex]А = [tex]\alpha[/tex] От [tex]\triangle[/tex]AHC следва [tex]\angle[/tex]АCH = 90 -[tex]\alpha[/tex];Нека [tex]\angle[/tex]ABC = [tex]\beta[/tex], от [tex]\triangle[/tex]BCH следва [tex]\angle[/tex]BCH = 90 - [tex]\beta[/tex];
[tex]\angle[/tex]ABL = [tex]\frac{\beta}{2}[/tex],[tex]\angle[/tex]BLC = [tex]\alpha[/tex] + [tex]\frac{\beta}{2}[/tex] (като външен за [tex]\triangle[/tex]ABL); Но за [tex]\triangle[/tex]LPC имаме LP = PC [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]CLP = [tex]\angle[/tex]LCP или 90 - [tex]\alpha[/tex] = [tex]\alpha[/tex] + [tex]\frac{\beta}{2}[/tex] от където [tex]\beta[/tex] = 180 - 4[tex]\alpha[/tex];[tex]\angle[/tex]ACB = 90 - [tex]\alpha[/tex] + 90 - [tex]\beta[/tex] = 90 - [tex]\alpha[/tex] + 90 -( 180 - 4[tex]\alpha[/tex] ) = 3[tex]\alpha[/tex]
За [tex]\triangle[/tex]АBC прилагаме синусова теорема : [tex]\frac{c}{sin3\alpha}[/tex] = [tex]\frac{a}{sin\alpha}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\frac{c}{a}[/tex] =[tex]\frac{sin\alpha(3 - 4sin^{2}\alpha)}{sin\alpha}[/tex] или
[tex]\frac{c}{a}[/tex] = 3 -4[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] от където [tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{3a - c}{4a}[/tex] и съответно [tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{a + c}{4a}[/tex] , [tex]tg^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{3a - c}{a + c}[/tex]
[tex]\angle[/tex]CLP = 90 - [tex]\alpha[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]ALP = 90 + [tex]\alpha[/tex] ( като съседни)
За [tex]\triangle[/tex]ABL прилагам синусова теорема:[tex]\frac{BL}{sin\alpha}[/tex] = [tex]\frac{AB}{sin(90 + \alpha)}[/tex] или BL = [tex]\frac{c.sin\alpha}{sin(90 + \alpha)}[/tex] = [tex]\frac{c.sin\alpha}{cos\alpha}[/tex] = c.tg[tex]\alpha[/tex] от където
BL = c[tex]\sqrt{\frac{3a - c}{a + c}}[/tex]

[S.B.]

б) Ако а = 1 за коя стойност на c ъглополовящата BL ще достигне максимална стойност?
BL = c[tex]\sqrt{\frac{3a - c}{a + c}}[/tex]
Нека c = x , a = 1 тогава BL = x.[tex]\sqrt{\frac{3 - x}{x + 1}}[/tex]
Нека f(x) = [tex]BL^{2}[/tex] = [tex]x^{2}[/tex].[tex]\frac{3 - x}{x +1}[/tex] = [tex]\frac{3x^{2} - x^{3}}{x + 1}[/tex]
f ' (x) = [tex]\frac{- 2x^{3} + 6x}{(x + 1)^{2}}[/tex] = 0 или x(-2[tex]x^{2}[/tex] + 6) = 0 , x[tex]\ne[/tex]0 ( защото х = с)[tex]\Rightarrow[/tex] -2[tex]x^{2}[/tex] + 6 =0 от където [tex]x_{1 }[/tex]=-[tex]\sqrt{3}[/tex] < 0 и [tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\sqrt{3}[/tex];
След заместване във втората производна - f '' ([tex]\sqrt{3}[/tex]) < 0 [tex]\Rightarrow[/tex] за х=[tex]\sqrt{3}[/tex] има максимум или
За а=1 и c=[tex]\sqrt{3}[/tex] се получава най- голяма стойност за ъглополовящата BL