Ирационални уравнения

[S.B.]

Решете уравненията:
Зад.1: [tex]\sqrt{х + 4}[/tex] = [tex]x^{2}[/tex] - 4
Зад.2: [tex]\sqrt[3]{(1 - х)^{2}}[/tex] + [tex]\sqrt[3]{(2 + х)^{2}}[/tex] = [tex]\sqrt[3]{(1 - х)(2 + х)}[/tex] + 3

[Davids]

Само от любопитство за първата: решава се лесно по метода на неопределените коефициенти и много трудно с идейно сещане за групиране и разтягане до получаване на произведение на два тричлена в човешки вид. Въпросът ми е, тъй като това ми е малко чудно за сегашен кандидатстудентски изпит, от коя година е задачата и дали няма и евентуално някой друг замисъл зад нея, който да не прозирам... (с хитри полаганки също не стигнах далеч )

[123a]

Второто няма решение?

[Добромир Глухаров]

Полагаме $\sqrt{x+4}=t\Rightarrow t=(t^2-4)^2-4$

Нека $f(u)=u^2-4\Rightarrow t=f(f(t))$

Построяваме графиките на $f(u)=u^2-4$ и $\varphi(u)=u$ в една координатна система и виждаме, че $t$ е решение на $t^2-4=t\Rightarrow t_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$

Следователно две стойности за $x$ ще получим от $x+4=\left(\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}\right)^2$

Като поразгледах графиките, мисля, че други корени (или поне реални такива) май няма. Е, може и да бъркам.

[S.B.]

Второто няма решение?

Има решение. Отговор: [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]\frac{1}{12}[/tex](5 - 7[tex]\sqrt{\frac{11}{3}}[/tex]) , [tex]x_{2 }[/tex]= [tex]\frac{1}{12}[/tex](5 + 7[tex]\sqrt{\frac{11}{3}}[/tex])

[S.B.]

Полагаме $\sqrt{x+4}=t\Rightarrow t=(t^2-4)^2-4$

Нека $f(u)=u^2-4\Rightarrow t=f(f(t))$

Построяваме графиките на $f(u)=u^2-4$ и $\varphi(u)=u$ в една координатна система и виждаме, че $t$ е решение на $t^2-4=t\Rightarrow t_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$

Следователно две стойности за $x$ ще получим от $x+4=\left(\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}\right)^2$

Като поразгледах графиките, мисля, че други корени (или поне реални такива) май няма. Е, може и да бъркам.

Много ме обърква отговора,но: Отг. х [tex]\in[/tex]{ [tex]\frac{1 + \sqrt{17}}{2}[/tex] , - [tex]\frac{1 + \sqrt{13}}{2}[/tex]}

[Davids]

На първа: след обявяване на ДС и повдигане на втора достигаме до многочлен от четвърта, който с помощта на метода на неопределените коефициенти се разлага до $(x^2 - x - 4)(x^2 + x - 3) = 0$ и корените са ясни. Аз обаче продължавам да искам отговор на първото си мнение.

[Добромир Глухаров]

$u=\sqrt[3]{1-x};\ v=\sqrt[3]{2+x}$

$\begin{array}{|l}u^2+v^2=uv+3\\u^3+v^3=3\end{array}$

$(u+v)^3=3+3uv(u+v)\Rightarrow(u+v)((u+v)^2-3uv)=3$

$(u+v)^2=u^2+v^2+2uv=uv+3+2uv\Rightarrow(u+v)^2-3uv=3\Rightarrow u+v=1$

$\Rightarrow 1-3uv=3;\ uv=-\frac{2}{3}$

$t^2-t-\frac{2}{3}=0$

$t=\frac{3\pm\sqrt{33}}{6}$

$1-x=t^3\Rightarrow x_{1,2}=1-\left(\frac{3\pm\sqrt{33}}{6}\right)^3$

[S.B.]

Само от любопитство за първата: решава се лесно по метода на неопределените коефициенти и много трудно с идейно сещане за групиране и разтягане до получаване на произведение на два тричлена в човешки вид. Въпросът ми е, тъй като това ми е малко чудно за сегашен кандидатстудентски изпит, от коя година е задачата и дали няма и евентуално някой друг замисъл зад нея, който да не прозирам... (с хитри полаганки също не стигнах далеч )

Задачите не знам дали са стигали до изпит.Това е сборник по алгебра "Уравнения ,неравенства,системи" от к.м.н. Ангел Дишлиев Издателство " Техника" София,1991 г.,предназначен за подготовка за кандидат студенти.Бях го купила за голямия ми син.
И първата и втората задача се решават с полагане,което води до система уравнения

[Добромир Глухаров]

Полагаме $\sqrt{x+4}=t\Rightarrow t=(t^2-4)^2-4$

Нека $f(u)=u^2-4\Rightarrow t=f(f(t))$

Построяваме графиките на $f(u)=u^2-4$ и $\varphi(u)=u$ в една координатна система и виждаме, че $t$ е решение на $t^2-4=t\Rightarrow t_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$

Следователно две стойности за $x$ ще получим от $x+4=\left(\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}\right)^2$

Като поразгледах графиките, мисля, че други корени (или поне реални такива) май няма. Е, може и да бъркам.

Много ме обърква отговора,но: Отг. х [tex]\in[/tex]{ [tex]\frac{1 + \sqrt{17}}{2}[/tex] , - [tex]\frac{1 + \sqrt{13}}{2}[/tex]}

Значи съм получил първия корен, а второто ми решение (с минус пред корен от 17) не принадлежи на допустимите стойности.

[123a]

Задача 2.

Нека първо разгледаме уравнение от вида $\sqrt[3]{f^2(x)}$$-\sqrt[3]{f(x)g(x)}+\sqrt[3]{g^2(x)}=\varphi(x)$.

Умножаваме двете страни по $\sqrt[3]{f(x)}+\sqrt[3]{g(x)}$ и получаваме $f(x)+g(x)=\varphi(x)(\sqrt[3]{f(x)}+\sqrt[3]{g(x)})$

Връщаме се към уравнението:

[tex]\sqrt[3]{(1 - х)^{2}}[/tex]-[tex]\sqrt[3]{(1 - х)(2 + х)}[/tex] + [tex]\sqrt[3]{(2 + х)^{2}}[/tex] $= 3$

Умножаваме двете страни на уравнението по [tex]\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{x+2}[/tex] и получаваме

$1-x+2+x=3(\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{x+2})=>\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{x+2}=1$

$\sqrt[3]{1-x}=a,\sqrt[3]{x+2}=b=>x=1-a^3, x=b^3-2=>1-a^3=b^3-2=>a^3+b^3=3$

Имаме системата $\begin{array}{|l}a+b=1=>a=1-b \\ a^3+b^3=3=>(a+b)((a+b)^2-3ab)=3 \end{array}=>1-3b(1-b)=3=>3b^2-3b-2=0=>D=33$
$b_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{33}}{6}$

При $b=\frac{3+\sqrt{33}}{6}=>a=\frac{3-\sqrt{33}}{6}$

При $b=\frac{3-\sqrt{33}}{6}=>a=\frac{3+\sqrt{33}}{6}$

Слад това се връщаме към полагането и намираме х. А като гледам числата, хич нямам намерение да се връщам към полагането.

[Добромир Глухаров]

На първа: след обявяване на ДС и повдигане на втора достигаме до многочлен от четвърта, който с помощта на метода на неопределените коефициенти се разлага до $(x^2 - x - 4)(x^2 + x - 3) = 0$ и корените са ясни. Аз обаче продължавам да искам отговор на първото си мнение.

Всъщност по моя начин получавам нулите на $x^2-x-4$. Делим лявата страна на уравнението от четвърта степен на така получения квадратен тричлен (получили сме коефициентите му от формулите на Виет) и получаваме втория множител - квадратен тричлен. Само трябва да можем да делим полиноми с частно и остатък. (В случая остатъкът е нула.)

[S.B.]

Тъй като проф.Дишлиев е дал схематично решение ,ще си позволя да го цитирам:
[tex]\sqrt{х + 4}[/tex] = [tex]x^{2}[/tex] - 4 ; Д.М. х[tex]\in[/tex][ - 4, +[tex]\infty[/tex])
Полага [tex]\sqrt{х + 4}[/tex] = y
[tex]\begin{array}{|l} \sqrt{x + 4} = y \\ x^{2} - 4 = y \end{array}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} x + 4= y^{2} \\ x^{2} - 4 = y \end{array}[/tex] събира почленно и получава : ([tex]x^{2}[/tex] - [tex]y^{2}[/tex]) + (x - y) = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex](x - y)(x + y +1) =0
Oт където x - y = 0 и x + y + 1 =0 и образува 2 системи:
[tex]\begin{array}{|l} x - y = 0 \\ x^{2} - 4 = y \end{array}[/tex] с решения [tex]x_{1 }[/tex]= [tex]\frac{1 +\sqrt{17}}{2}[/tex] ,[tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{1 - \sqrt{17}}{2}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} x + y + 1= 0 \\ x^{2} - 4 =y\end{array}[/tex] с решения [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]\frac{-1 +\sqrt{13}}{2}[/tex] , [tex]x_{2 }[/tex]= [tex]\frac{-1-\sqrt{13}}{2}[/tex]
От полагането : [tex]\sqrt{х + 4}[/tex] = y [tex]\Rightarrow[/tex] y[tex]\ge[/tex]0[tex]\Rightarrow[/tex] y = [tex]x^{2}[/tex] - 4 [tex]\ge[/tex]0 и х[tex]\in[/tex]( -4,-2] [tex]\cup[/tex][2,+[tex]\infty[/tex]) и отг.х [tex]\in[/tex]{ [tex]\frac{1 + \sqrt{17}}{2}[/tex] ; - [tex]\frac{1 + \sqrt{13}}{2}[/tex]}
Защо го е дал в интервал,а не два отговора - не мога да си обясня.Или е печатна грешка...Според мен са [tex]x_{1 }[/tex] =... и [tex]x_{2 }[/tex]= ...

[Добромир Глухаров]

Тъй като проф.Дишлиев е дал схематично решение ,ще си позволя да го цитирам:
[tex]\sqrt{х + 4}[/tex] = [tex]x^{2}[/tex] - 4 ; Д.М. х[tex]\in[/tex][ - 4, +[tex]\infty[/tex])
Полага [tex]\sqrt{х + 4}[/tex] = y
[tex]\begin{array}{|l} \sqrt{x + 4} = y \\ x^{2} - 4 = y \end{array}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} x + 4= y^{2} \\ x^{2} - 4 = y \end{array}[/tex] събира почленно и получава : ([tex]x^{2}[/tex] - [tex]y^{2}[/tex]) + (x - y) = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex](x - y)(x + y +1) =0
Oт където x - y = 0 и x + y + 1 =0 и образува 2 системи:
[tex]\begin{array}{|l} x - y = 0 \\ x^{2} - 4 = y \end{array}[/tex] с решения [tex]x_{1 }[/tex]= [tex]\frac{1 +\sqrt{17}}{2}[/tex] ,[tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{1 - \sqrt{17}}{2}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} x + y + 1= 0 \\ x^{2} - 4 =y\end{array}[/tex] с решения [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]\frac{-1 +\sqrt{13}}{2}[/tex] , [tex]x_{2 }[/tex]= [tex]\frac{-1-\sqrt{13}}{2}[/tex]
От полагането : [tex]\sqrt{х + 4}[/tex] = y [tex]\Rightarrow[/tex] y[tex]\ge[/tex]0[tex]\Rightarrow[/tex] y = [tex]x^{2}[/tex] - 4 [tex]\ge[/tex]0 и х[tex]\in[/tex]( -4,-2] [tex]\cup[/tex][2,+[tex]\infty[/tex]) и отг.х [tex]\in[/tex]{ [tex]\frac{1 + \sqrt{17}}{2}[/tex] ; - [tex]\frac{1 + \sqrt{13}}{2}[/tex]}
Защо го е дал в интервал,а не два отговора - не мога да си обясня.Или е печатна грешка...Според мен са [tex]x_{1 }[/tex] =... и [tex]x_{2 }[/tex]= ...

$x$ принадлежи на множество, състоящо се от две стойности - реални числа. Няма грешка - скобите са фигурни.

[S.B.]

Да!Вярно,че е така!!!Не се сетих!