Уравнения

[S.B.]

Решете уравненията:
1) [tex]\frac{2х}{x^{2} + 3х -1}[/tex] + [tex]\frac{3х}{x^{2} - 5х -1}[/tex] = [tex]\frac{1}{15}[/tex]

2) [tex]\frac{2sin^{2}x - \sqrt{3}sin2x}{\sqrt{cos(x + \pi)}}[/tex] = 0

[Hephaestus]

[tex]1)[/tex] [tex]\frac{2x}{x^{2}+3x-1} + \frac{3x}{x^{2}-5x-1} = \frac{1}{15}[/tex]

ДС[tex]_{x }[/tex]: [tex]x^{2}+3x-1 \ne 0, x^{2}-5x-1 \ne 0 \Rightarrow \forall x \ne \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2},\forall x \ne \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2}[/tex]

С непосредствена проверка се установява, че [tex]x = 0[/tex] не е решение на уравнението. Тогава, като разделим числителя и знаменателя на x, уравнението е еквивалентно на:

[tex]\frac{2}{x+3-\frac{1}{x}} + \frac{3}{x-5-\frac{1}{x}} = \frac{1}{15}[/tex]

Полагаме [tex]x - \frac{1}{x} = t \Rightarrow \frac{2}{t+3} + \frac{3}{t-5} = \frac{1}{15}[/tex] ; [tex]t \ne -3;5[/tex]
Като опростим това дробно уравнение, получаваме [tex]t^{2} - 77t = 0 \Rightarrow t_{1 } = 0 , t_{2 } = 77[/tex]
Тогава [tex]x - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x^{2}-1=0 \Rightarrow x_{1,2 } = \pm 1[/tex][tex]\in[/tex] ДС[tex]_{x }[/tex]
[tex]x - \frac{1}{x} = 77 \Leftrightarrow x^{2}-77x-1=0 \Rightarrow x_{3,4 } = \frac{77 \pm \sqrt{5933}}{2}[/tex][tex]\in[/tex] ДС[tex]_{x }[/tex]

[Hephaestus]

[tex]2)[/tex] [tex]\frac{2sin^{2}x-\sqrt{3}sin2x}{\sqrt{cos(x+\pi)}} = 0[/tex][tex][/tex]
ДС[tex]_{x }[/tex]: [tex]cos(x+\pi) > 0 \Leftrightarrow -cosx > 0 \Leftrightarrow cosx < 0[/tex], т.е. [tex]x \in (\frac{\pi}{2}+2k\pi ; \frac{3\pi}{2}+2k\pi ), k \in Z[/tex]

[tex]2sin^{2}x-2\sqrt{3}sinxcosx = 0[/tex]

[tex]2sinx(sinx-\sqrt{3}cosx) = 0[/tex]

[tex]4sinx(\frac{1}{2}sinx-\frac{\sqrt{3}}{2}cosx) = 0[/tex]

[tex]4sinx.sin(x-\frac{\pi}{3}) = 0[/tex]

[tex]sinx = 0 \Rightarrow x_{1 } = m\pi, m \in Z[/tex]. Обаче като имаме предвид ДС, получаваме [tex]x_{1 } = (2m+1)\pi, m \in Z[/tex]
[tex]sin(x-\frac{\pi}{3}) = 0 \Rightarrow x_{2 } = \frac{\pi}{3} + 2l\pi \notin[/tex] ДС, [tex]x_{3 } = \frac{4\pi}{3} + 2r\pi \in[/tex] ДС [tex],r \in Z[/tex].