Още уравнения : Честит ден на детето!

[S.B.]

Зад.1: 4[tex]x^{4}[/tex] + 12[tex]x^{3}[/tex] - 47[tex]x^{2}[/tex] + 12х + 4 = 0
Отг.: [tex]x_{1 }[/tex] = - [tex]\frac{11 + \sqrt{105}}{2}[/tex], [tex]x_{2 }[/tex] = - [tex]\frac{11 - \sqrt{105}}{2}[/tex] , [tex]x_{3 }[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex] , [tex]x_{4 }[/tex] = 2

Зад.2: [tex](х + 2)^{4}[/tex] + [tex](х + 4)^{4}[/tex] = 82
Отг.: [tex]x_{1 }[/tex] = -5 , [tex]x_{2 }[/tex] = - 1
Това е поздрав към всички колеги от форума,които не са навършили 18 години!

[Davids]

Ами първата задача си е идеална за 9. клас и схема на Хорнер Става и с моя любим метод на неопределените коефициенти. Накрая си остава един квадратен тричлен, от който излизат коренистите решения

[Davids]

Втората беше по-интересна
Като за отскок ще положим $u = x + 3$:
$(u-1)^4 + (u+1)^4 = 82$

Към двете страни прибавяме специалната съставка:
$(u-1)^4 + 2(u-1)^2(u+1)^2 + (u+1)^4 = 82 + 2(u-1)^2(u+1)^2$

за да получим отляво формула за сбор на квадрат, а отдясно ще извършим умножението на изразите в скобите (също формула за съкратено умножение):
$[(u-1)^2 + (u+1)^2]^2 = 82 + 2(u^2-1)^2$

Извършваме действията в скобите отляво, вадим двойката пред скоби и делим двете страни на 2, за да достигнем до:
$2(u^2+1)^2 = 41 + (u^2-1)^2$

Полагаме отново $t = u^2 \ge 0$:
$2(t+1)^2 = 41 + (t-1)^2$
$...$
$t^2 + 6t - 40 = 0$

Единствен неотрицателен корен е $t = 4$ и така:
$(x + 3)^2 = 4$
$x^2 + 6x + 5 = 0$

И решения са $x_1 = -5; x_2 = -1$

[S.B.]

Ами първата задача си е идеална за 9. клас и схема на Хорнер Става и с моя любим метод на неопределените коефициенти. Накрая си остава един квадратен тричлен, от който излизат коренистите решения

Честит празник Davids!
Първата е едно възвратно уравнение от вида:а[tex]x^{4}[/tex] + b[tex]x^{3}[/tex] + c[tex]x^{2}[/tex] + dx + e =0 , защото е [tex]\ne[/tex]0 и [tex]\frac{е}{а}[/tex] = [tex](\frac{d}{b})^{2}[/tex] и a,b,c,d,e [tex]\in[/tex]R
Втората се решава с елегантна субституция

[Davids]

Ами първата задача си е идеална за 9. клас и схема на Хорнер Става и с моя любим метод на неопределените коефициенти. Накрая си остава един квадратен тричлен, от който излизат коренистите решения

Честит празник Davids!
Първата е едно възвратно уравнение от вида:а[tex]x^{4}[/tex] + b[tex]x^{3}[/tex] + c[tex]x^{2}[/tex] + dx + e =0 , защото е [tex]\ne[/tex]0 и [tex]\frac{е}{а}[/tex] = [tex](\frac{d}{b})^{2}[/tex] и a,b,c,d,e [tex]\in[/tex]R
Втората се решава с елегантна субституция

А, вярно че и тези полиноми „с огледалните коефициенти“ ги взимахме в девети клас. Голям номер беше решаването им: делим двете страни на средната степен (в случая на $x^2$) и полагаме $t = x + \frac{1}{x}$, при което $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$ и решаванката става бърза, лесна и вкусна. Значи начините станаха три

[S.B.]

Трудността на уравненията беше съобразена с възрастта на тези които исках да поздравя!За Davids ще постна специална задача тази вечер или утре!Още веднъж Честит празник деца!

[S.B.]

Зад.1: 4[tex]x^{4 }[/tex] + 12[tex]x^{3}[/tex] - 47[tex]x^{2}[/tex] + 12х + 4 = 0
Очевидно х = 0 не е решение и можем да делим двете страни на [tex]x^{2}[/tex] и получаваме:
4[tex]x^{2}[/tex] + 12х - 47 + [tex]\frac{12}{х}[/tex] + [tex]\frac{4}{x^{2}}[/tex] = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex]4([tex]x^{2}[/tex] + [tex]\frac{1}{x^{2}}[/tex]) + 12(х + [tex]\frac{1}{х}[/tex]) - 47 = 0
Нека х + [tex]\frac{1}{х}[/tex] = y [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^{2}[/tex] + [tex]\frac{1}{x^{2}}[/tex] = [tex](x + \frac{1}{x})^{2}[/tex] - 2x[tex]\frac{1}{x}[/tex] = [tex]y^{2}[/tex] - 2;Сега зместваме и получаваме:
4([tex]y^{2}[/tex] - 2) + 12y -47 =0 [tex]\Leftrightarrow[/tex]4[tex]y^{2}[/tex] + 12y - 55 = 0 от където [tex]y_{1 }[/tex] = - [tex]\frac{11}{2}[/tex] и [tex]y_{2 }[/tex] = [tex]\frac{5}{2}[/tex]
Връщаме субституцията и получаваме :1) 2[tex]x^{2}[/tex] + 11х +2 =0 с корени [tex]x_{1 }[/tex] = - [tex]\frac{11 + \sqrt{105}}{2}[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] = - [tex]\frac{11 - \sqrt{105}}{2}[/tex]
и 2) 2[tex]x^{2}[/tex] - 5х + 2 = 0 с корени [tex]x_{3 }[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex] и [tex]x_{4 }[/tex] = 2