Конкурсен изпит УНСС 1999 г.зад.1 и 3

[S.B.]

Зад.1:Решете неравенството:
1 + 5[tex]log_{3 }[/tex][tex]\sqrt[5]{\frac{3x + 7}{x - 1}}[/tex][tex]\ge[/tex][tex]\frac{1}{4}[/tex][tex]log_{\sqrt{3} }[/tex][tex](x +7)^{2}[/tex]
Зад.2:Решете уравнението:
[tex]cos^{2}[/tex]8x + [tex]cos^{2}[/tex]2x + 2 = 2cos8xcos2x + [tex]\sqrt{3}[/tex]sinx + cosx

[Nathi123]

2.зад. [tex]cos^{2}8x+cos^{2}2x+2=2cos8xcos2x+\sqrt{3}sinx+cosx\Leftrightarrow ( cos8x - cos2x)^{2}+2=\sqrt{3}sinx+cosx\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{1}{2}( cos8x - cos2x)^{2} +1=sin( \frac{\pi}{6} +x) ; \frac{1}{2}( cos8x - cos2x)^{2} +1\ge 1; sin( \frac{\pi}{6} +x) \le 1\Rightarrow[/tex]
уравнението ще има решение ,ако има стойности на х ,за които двете страни на уравнението са равни на 1 т.е.
[tex]\Leftrightarrow
\begin{array}{|l} cos8x - cos2x = 0 \\ sin( x + \frac{\pi}{6}) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} +2k\pi ; k\in Z \end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} sin5x.sin3x=0 \\ x = \frac{\pi}{3} +2k\pi ; k\in Z \end{array} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} +2k\pi ; k\in Z[/tex]
( за тях sin3x = 0 ) [tex]\Rightarrow x = \frac{\pi}{3} +2k\pi ; k\in Z[/tex] са решенията на системата и уравнението.

[Nathi123]

1. зад. [tex]1 + 5log_{3 }\sqrt[5]{\frac{3x+7}{x-1}}\ge \frac{1}{4} log ( x + 7 )^{2} \Leftrightarrow\begin{array}{|l} (3x+7)(x-1)>0 \\ x \ne - 7 \\ \frac{3(3x+7)}{x-1} \ge | x + 7 |\end{array}[/tex]
1. сл. [tex]\begin{array}{|l} x\in (-\infty, - 7 ) \\ \frac{9x+21}{x-1} + x+7 \ge 0 \end{array} \Leftrightarrow x\in [-14,-7) .[/tex]
2.сл. [tex]\begin{array}{|l} x \in (-7,-\frac{7}{3} )\cup (1,\infty) \\ \frac{9x+21}{x-1}-(x+7)\ge 0\end{array}\Leftrightarrow x\in (-7, - 4]\cup ( 1,7][/tex]
[tex]\Rightarrow x\in [-14,-7) \cup (-7,-4] \cup (1,7] .[/tex]