Правоъгълен триъгълник

[Hephaestus]

Даден е правоъгълен триъгълник [tex]\triangle ABC[/tex], в който са построени [tex]CH[/tex] [tex](H \in AB)[/tex] [tex]-[/tex] височината към хипотенузата, [tex]CP[/tex] [tex](P \in AB)[/tex] [tex]-[/tex]ъглополовящата на [tex]\angle ACH[/tex] и [tex]CQ[/tex] [tex](Q \in AB)[/tex] [tex]-[/tex]ъглополовящата на [tex]\angle BCH[/tex]. Да се намери отношението на радиуса на вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност към радиуса на описаната около [tex]\triangle PQC[/tex] окръжност.

[S.B.]

[tex]\triangle[/tex]ABC,[tex]\angle[/tex]C = 90[tex]^\circ[/tex];CH[tex]\bot[/tex]AB , CP - ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]ACH , CQ - ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]BCH;r - радиус на вписаната в [tex]\triangle[/tex]АBC oкръжност,R - радиус на описаната около [tex]\triangle[/tex]PQC окръжност, търсим [tex]\frac{r}{R}[/tex] = ?
Нека AB = c и [tex]\angle[/tex]А = [tex]\alpha[/tex];Тогава [tex]\angle[/tex]ACH = 90 -[tex]\alpha[/tex],[tex]\angle[/tex]BCH = [tex]\alpha[/tex] и съответно [tex]\angle[/tex]АCP = [tex]\angle[/tex]PCH = 45 - [tex]\frac{\alpha}{2}[/tex],[tex]\angle[/tex]HCQ = [tex]\angle[/tex]BCQ = [tex]\frac{\alpha}{2}[/tex];
От [tex]\triangle[/tex]ABC:BC = c.sin[tex]\alpha[/tex]; AC = c.cos[tex]\alpha[/tex];От [tex]\triangle[/tex]AHC: CH = AC.sin[tex]\alpha[/tex] или CH = c.sin[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\alpha[/tex]
[tex]S_{ABC }[/tex] = [tex]\frac{AC.BC}{2}[/tex] или [tex]S_{ABC }[/tex] = [tex]\frac{c^{2}.sin\alpha.cos\alpha}{2}[/tex]; Но [tex]S_{ABC }[/tex] = p.r = [tex]\frac{c(sin\alpha + cos\alpha + 1)}{2}[/tex].r След приравняване на лицата и преработка се получава :r = [tex]\frac{c.sin\alpha.cos\alpha}{sin\alpha + cos\alpha + 1}[/tex]
За [tex]\triangle[/tex] PCQ : [tex]\angle[/tex]PCQ = 45 -[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] + [tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] = 45[tex]^\circ[/tex] и след синусова теорема :[tex]\frac{PQ}{sin45}[/tex] = 2R от където PQ = R[tex]\sqrt{2}[/tex]
PQ = PH + QH;От[tex]\triangle[/tex]PHC: PH = CH.tg(45 - [tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]) ; От [tex]\triangle[/tex]CQH: HQ = CH.tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] и от CH = c.sin[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\alpha[/tex] получаваме:
PQ = PH + QH =
c.sin[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\alpha[/tex].tg(45 - [tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]) + c.sin[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\alpha[/tex].tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] = c.sin[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\alpha[/tex](tg(45 - [tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] + tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]) = c.sin[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\alpha[/tex].[tex]\frac{sin45}{cos(45 - \frac{\alpha}{2}}[/tex]).cos[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{2}.c.sin\alpha.cos\alpha}{2.cos(45-\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2}}[/tex] ,но PQ = R[tex]\sqrt{2}[/tex] от където R = [tex]\frac{c.sin\alpha.cos\alpha}{2.cos(45 - \frac{\alpha}{2}).cos\frac{\alpha}{2}}[/tex]
[tex]\frac{r}{R}[/tex] = [tex]\frac{\frac{c.sin\alpha.cos\alpha}{sin\alpha + cos\alpha + 1}}{\frac{c.sin\alpha.cos\alpha}{2.cos(45 - \frac{\alpha}{2}).cos\frac{\alpha}{2}}}[/tex] + [tex]\frac{2.cos(45 - \frac{\alpha}{2}).cos\frac{\alpha}{2}}{sin\alpha + cos\alpha + 1}[/tex] = [tex]\frac{2.cos(45 - \frac{\alpha}{2}).cos\frac{\alpha}{2}}{2sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2} + 2cos^{2}\frac{\alpha}{2}}[/tex] = [tex]\frac{2.cos(45 - \frac{\alpha}{2}).cos\frac{\alpha}{2}}{2.cos\frac{\alpha}{2}(sin\frac{\alpha}{2} + cos\frac{\alpha}{2})}[/tex] = [tex]\frac{cos(45 - \frac{\alpha}{2})}{cos(90 - \frac{\alpha}{2}) + cos\frac{\alpha}{2}}[/tex] = [tex]\frac{cos(45 - \frac{\alpha}{2})}{2.cos45.cos(45 - \frac{\alpha}{2})}[/tex] = [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[123a]

Ще предожа едно много по-кратко решение с минимум тригонометрия.

$\angle$$BAC=\alpha$, $\angle$$ABC=90-\alpha$

[tex]\triangle[/tex] $ACQ$ е равнобедрен, понеже $\angle$$ACQ=$$\angle$$AQC=90-\frac{\alpha}{2}=>AQ=b=>AP=c-b$ при стандартни означения

$\triangle$$PCB$ също е равнобедрен, понеже $\angle$$PCB=$$\angle$$BPC=45+\frac{\alpha}{2}=>BP=a=>QB=c-a$

Сега имаме $PQ=AB-(AP+QB)=c-[(c-b)+(c-a)]=c-c+b-c+b=a+b-c$

Но ние знаем, че $r_{ABC}=\frac{a+b-c}{2}=>PQ=2r$

Сега имаме $\frac{PQ}{sin45}=2R_{PQC}=>\frac{2r}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2R=>\frac{r}{R}=\frac{\sqrt{2}}{2}$