Обем на призма

[nutb0ll]

Сфера с радиус 2cm се допира до всички стени на правилна триъгълна призма. Да се намери обемът на призмата.

На тази си мисля, че височината на призмата е 4, а страната на основата да я намеря с косинусовата теорема, но не получавам отговора и явно не е така: [tex]48\sqrt{3}[/tex] ..може ли помощ

[ева]

Вписаната сфера се проектира върху основата като вписана окръжност, т.е. окръжност с радиус 2 см.е вписана в
[tex]\triangle[/tex]АВС-равностранен (долна основа).
Има директна формула за изразяване на страна на равностр.тр-к чрез радиуса на вписаната окръжност.

Скрит текст: покажи

Няма нужда от cos T.

[S.B.]

Правилно си мислиш,че височината на призмата е 4.Ако през центъра на сферата т.О построиш равнина успоредна на основите,ще получиш сечението [tex]\triangle[/tex]MNP,което е равностранен триъгълник ,в който е вписана окръжност с център т.О и r= 2 , еднакъв с триъгълниците на основите и страните му са равни на основния ръб,който нека да е "а";
Знаеш,че в равностранния триъгълник прес.точка на медианите е и център на вписана и описана окръжност и ортоцентър едновременно.Медианата е [tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex],а понеже медицентъра дели в отношение 2:1 медианата,то r = [tex]\frac{1}{3}[/tex].[tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex] или r = [tex]\frac{a\sqrt{3}}{6}[/tex] т.е. 2 = [tex]\frac{a\sqrt{3}}{6}[/tex] от където а = 4[tex]\sqrt{3}[/tex]; [tex]S_{MNP }[/tex] = [tex]\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}[/tex] = 12[tex]\sqrt{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] V = 12[tex]\sqrt{3}[/tex].4 = 48[tex]\sqrt{3}[/tex]