Описана сфера

[S.B.]

Основата на пирамида е равностранен триъгълник със страна [tex]\alpha[/tex].Височината на пирамидата минава през средата на един от основните ръбове и е [tex]\frac{3}{2}[/tex][tex]\alpha[/tex].Намерете обема на сферата описана около пирамидата.

[Nathi123]

Нека равностранният триъгълник АВС е основа на пирамидата. Построяваме СН перпендикулярна на АВ.
Тогава АН = ВН =[tex]\frac{a}{2}; CH=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex] .
[tex]DH=\frac{3a}{2}\bot (A,B,C)\Rightarrow (C,H,D)\bot AB\Rightarrow (C,H,D)[/tex] е симетралната равнина на АВ. Нека точка О е центърът на описаната около пирамидата ABCD сферар G- центърът на описаната около триъг. АВС окръжност, правата р е права минаваща през G и перпендикулярна на ( А,В,С).
[tex]\Rightarrow O\in p ; p e[/tex] права от равнината CHD. AH=BH и са ортогонални проекции на AD и BD върху ( А,В,С)
[tex]\Rightarrow AD=BD ; \triangle AHD\Rightarrow AD=\sqrt{\frac{9a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}; S_{\triangle ABD}=\frac{a.a.3}{4}=\frac{3a^{2}}{4}; CH\bot( A,B,D)[/tex] Построявяме OL||CH
[tex]\Rightarrow OL\bot (A,B,D)\Rightarrow[/tex] точка L е център на описаната около триъг. ABD окръжност. Нека [tex]R_{1 }[/tex] е нейният радиус,
а R - радиуса на описаната около ABCD сфера.
[tex]S_{\triangle ABD}= \frac{a.a^{2}.10}{4R_{1 }}=\frac{3a^{2}}{4}\Rightarrow R_{1 }=\frac{5a}{6} ; OLHG[/tex] -правоъгълник
[tex]\Rightarrow OG=LH ; \triangle AHL\Rightarrow AL^{2}=AH^{2}+ LH^{2} ; AL=R_{1 }\Rightarrow LH^{2}=\frac{25a^{2}}{36}-\frac{a^{2}}{4}\Rightarrow LH=\frac{2a}{3}[/tex].
От [tex]\triangle COG\Rightarrow R^{2}=CO^{2}=CG^{2}+GO^{2}[/tex] (т-ма на Питагор).
[tex]CG=\frac{2}{3}CH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow R^{2}=\frac{3a^{2}}{9} +\frac{4a^{2}}{9}\Rightarrow R=\frac{a\sqrt{7}}{3}[/tex]
[tex]V_{кълбото }=\frac{4\pi R^{3}}{3}=\frac{28a^{3}\sqrt{7}\pi}{81} .[/tex]
Можем да намерим LH = DH - [tex]R_{1 }=\frac{3a}{2}-\frac{5a}{6}= \frac{2a}{3}[/tex].