Височина на пирамида - изпит за ТУ София

[nutb0ll]

Здравейте, тази не знам от къде да я подхвана

Пирамидата ABCM има за основа равностранен триъгълник [tex]\triangle ABC[/tex] със страна [tex]2 cm[/tex]. Околните ръбове [tex]AM[/tex] и [tex]BM[/tex] сключват с равнината на основата ъгли с големина [tex]\varphi[/tex], а равнината, в която те лежат, сключва с основата ъгъл с големина [tex]\alpha[/tex] . Да се намери височината на пирамидата.

отг: H=[tex]\frac{sin\alpha sin\varphi}{\sqrt{sin^{2}\alpha-sin^{2}\varphi}}[/tex]

[Davids]

Аз лично получавам леко различен отговор.
Нека $K$ е средата на $AB$, а $O$ е проекцията на върха на пирамидата върху равнината на основата. Тогава имаме $\angle OKM = \alpha$ и $\angle OAM = \angle OBM = \phi$. Ако $OM = h$, то тогава:
$MK = \frac{h}{sin\alpha}$
$MB = AM = \frac{h}{sin\phi}$

От Потагорова теорема за $\Delta BKM$ например можем да изведем:
$BM^2 = BK^2 + MK^2$

Т.е.:
$\frac{h^2}{sin^2\phi} = 1 + \frac{h^2}{sin^2\alpha}$
Откъдето всъщност
$h = \frac{sin\alpha sin\phi}{\sqrt{sin^2\alpha - sin^2\phi}}$

Принципно е добре да сложим произведението в числителя в модул, но тук имаме остри ъгли така или иначе

[Гост]

Добре де, но OB и ОА не са ли радиуса на описаната окръжност около ABC ? И след това от синусова теорема в тр. АВС => R = 2([tex]\sqrt{3}[/tex])/3 => h/R = tg([tex]\varphi[/tex]) т.е този ъгъл алфа да е малко излишен ?

[ammornil]

Добре де, но OB и ОА не са ли радиуса на описаната окръжност около ABC ? И след това от синусова теорема в тр. АВС => R = 2([tex]\sqrt{3}[/tex])/3 => h/R = tg([tex]\varphi[/tex]) т.е този ъгъл алфа да е малко излишен ?

Не знаем дали третият околен ръб сключва ъгъл $\varphi$ с основата, следователно $O$ не е задължително център на описаната около основата окръжност.$\\[12pt]$

Скрит текст: покажи

Screenshot 2025-03-10 184441.png (32.49 KiB) Прегледано 564 пъти

$\\[12pt] \triangle{ABC}, AB= BC= AC= 2, K \in{} AB, AK= KB= 1 \quad M \notin{} p(ABC), MO \bot{}p (ABC)\\[6pt] \angle{MAO}= \angle{MBO}= \varphi, \quad \angle{OKM}= \alpha \\[6pt]$Оттук следва решението което колегата е предложил по-горе.

$MK = \frac{h}{\sin\alpha}$
$MB = AM = \frac{h}{\sin\phi}$

От Потагорова теорема за $\Delta BKM$ например можем да изведем:
$BM^2 = BK^2 + MK^2$

Т.е.:
$\frac{h^2}{\sin^2\phi} = 1 + \frac{h^2}{\sin^2\alpha}$
Откъдето всъщност
$h = \frac{\sin\alpha \sin\phi}{\sqrt{\sin^2\alpha - \sin^2\phi}}$