Параметрично уравнение

[S.B.]

Да се намерят всички стойности на парамеръра [tex]\alpha[/tex] ,за които крените [tex]x_{1 }[/tex],[tex]x_{2 }[/tex] на уравнението
2[tex]x^{2}[/tex] - 2(2[tex]\alpha[/tex] + 1)х - [tex]\alpha^{2}[/tex] + [tex]\alpha[/tex] = 0
удовлетворяват условието [tex]x_{1 }[/tex] < [tex]\alpha[/tex] < [tex]x_{2 }[/tex].За кои стойности на [tex]\alpha[/tex] [tex]x_{1 }[/tex][tex]\in[/tex]( - [tex]\frac{1}{2}[/tex],[tex]\frac{1}{2}[/tex]) и [tex]x_{2 }[/tex][tex]\in[/tex]([tex]\frac{1}{2}[/tex],2) ?

[Nathi123]

[tex]D=6a^{2}+2a+1>0[/tex] за [tex]\forall a\in R \Rightarrow[/tex] зa [tex]\forall a\in R[/tex] съществуват [tex]x_{1 }\ne x_{2}\in R[/tex]
[tex]x_{1 }<a\Leftrightarrow x_{1 }-a <0; \cap x_{2 }>a\Leftrightarrow x_{2}- a >0 \Rightarrow\begin{array}{|l} x_{1 } <a \\ x_{2}>0 \end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x_{1 }-a)(x_{2}-a)<0\Leftrightarrow x_{1 }x_{2}-(x_{1 }+x_{2})a+a^{2}<0 \Leftrightarrow \frac{-a^{2}+a}{2}-2\frac{(2a+1)}{2}+a^{2}<0 (1)[/tex] .
(От Т на Виет [tex]x_{1 }x_{2}=\frac{-a^{2}+a}{2}; x_{1 }+x_{2} = 2a+1 )[/tex]
Неравенството (1) e [tex]\Leftrightarrow -3a^{2} -a <0\Leftrightarrow a\in (-\infty,-\frac{1}{3})\cup (0,\infty ).[/tex]
Стойностите на а за които са изпълнени другите изисквания за корените се определят от съответните т-ми [tex]x_{1 }<\frac{1}{2}<x_{2 }\cap \begin{array}{|l} x_{1 } <2\\ x_{2 }<2 \end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f(\frac{1}{2})<0; \cap f(2)>0\cap \frac{2(2a+1)}{2.2} <2[/tex].
[tex]\begin{array}{|l} 2a^{2} +2a+1>0\Leftrightarrow a\in R\\a^{2}+7a-4<0\\ a<\frac{3}{2}\end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a\in (\frac{-7-\sqrt{65}}{2},\frac{-7+\sqrt{65}}{2} ).[/tex]

[S.B.]

[tex]D=6a^{2}+2a+1>0[/tex] за [tex]\forall a\in R \Rightarrow[/tex] зa [tex]\forall a\in R[/tex] съществуват [tex]x_{1 }\ne x_{2}\in R[/tex]
[tex]x_{1 }<a\Leftrightarrow x_{1 }-a <0; \cap x_{2 }>a\Leftrightarrow x_{2}- a >0 \Rightarrow\begin{array}{|l} x_{1 } <a \\ x_{2}>0 \end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x_{1 }-a)(x_{2}-a)<0\Leftrightarrow x_{1 }x_{2}-(x_{1 }+x_{2})a+a^{2}<0 \Leftrightarrow \frac{-a^{2}+a}{2}-2\frac{(2a+1)}{2}+a^{2}<0 (1)[/tex] .
(От Т на Виет [tex]x_{1 }x_{2}=\frac{-a^{2}+a}{2}; x_{1 }+x_{2} = 2a+1 )[/tex]
Неравенството (1) e [tex]\Leftrightarrow -3a^{2} -a <0\Leftrightarrow a\in (-\infty,-\frac{1}{3})\cup (0,\infty ).[/tex]
Стойностите на а за които са изпълнени другите изисквания за корените се определят от съответните т-ми [tex]x_{1 }<\frac{1}{2}<x_{2 }\cap \begin{array}{|l} x_{1 } <2\\ x_{2 }<2 \end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f(\frac{1}{2})<0; \cap f(2)>0\cap \frac{2(2a+1)}{2.2} <2[/tex].
[tex]\begin{array}{|l} 2a^{2} +2a+1>0\Leftrightarrow a\in R\\a^{2}+7a-4<0\\ a<\frac{3}{2}\end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a\in (\frac{-7-\sqrt{65}}{2},\frac{-7+\sqrt{65}}{2} ).[/tex]

Отговорът е:
[tex]\alpha[/tex][tex]\in[/tex]( [tex]\frac{3 - \sqrt{15}}{2}[/tex] ; [tex]\frac{- 7 + \sqrt{65}}{2}[/tex] )

[Nathi123]

В така поставената задача са зададени два въпроса:
1. За кои стойности на параметъра а [tex]x_{1 }<a<x_{1 }[/tex] . Подробно съм обяснила как се намират тези стойности и отговорът на този въпрос е :
за [tex]a\in (-\infty,-\frac{1}{3})\cup (0,\infty).[/tex]

[Nathi123]

2. въпрос е за кои стойности на параметъра а [tex]x_{1 }\in (-\frac{1}{2},\frac{1}{2})[/tex] и [tex]x_{2}\in (\frac{1}{2},2)[/tex].
Тук съм пропуснала да напиша НДУ двата корена да са > - [tex]\frac{1}{2}[/tex].
А именно [tex]\begin{array}{|l} a\in (\frac{3-\sqrt{15}}{2},\frac{3+\sqrt{15}}{2})\\ a>-1 \end{array}\Rightarrow a\in (\frac{3-\sqrt{15}}{2},\frac{-7+\sqrt{65}}{2})[/tex].