Стойности на параметър

[123a]

При всички стойности на параметъра $a$, намерете всички стойности на $x$, удовлетворяващи уравнението $(x-3)(x+1)+3.(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=(a-1)(a+2)$ и намерете всички стойности на параметъра $a$, при които уравнението има само един корен.

[ева]

При а=1,или а=-2 ур-то има само един корен х=-1

Може да пропускам друг случай.

[123a]

При а=1,или а=-2 ур-то има само един корен х=-1

Може да пропускам друг случай.

Не. Отговорът е друг.

[Davids]

При а=1,или а=-2 ур-то има само един корен х=-1

Може да пропускам друг случай.

Интересното е, че както и да го въртя или суча, достигам до същото нещо
Заплетена задача, бих искал да споделя своето решение в пълен детайл:

Както казахме, от откат имаме още ДС: $x \ne 3$. Умножаваме подкоренната величина по $\frac{x-3}{x-3}$, вадим знаменателя в модул, полагаме $t = \sqrt{(x-3)(x+1)} \ge 0$ и достигаме до два случая:
I) $t^2 + 3t - (a-1)(a+2) = 0$
II) $t^2 - 3t - (a-1)(a+2) = 0$

Които сумарно ни водят до четири решения, които разглеждаме по надслова на логическото ИЛИ, тоест паралелно, следователно търсим такива стойности, за които и от четирите случая да имаме само едно решение за $x$. А тези случаи са:
I) $t_1 = -a - 2$
II) $t_2 = a - 1$
III) $t_3 = 1 - a$
IV) $t_4 = a + 2$

Нека четирите израза за $a$, които получихме от десните страни, в общия вид приравним на $k$. Тогава реално всеки един от следните случаи в общия си вид би изглеждал така:
$t = k$
$\Rightarrow \sqrt{(x-3)(x+1)} = k$
$\Rightarrow \begin{array}{|l} k \ge 0 \\ (x-3)(x+1) = k^2 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 - k^2 = 0 \end{array}$

Уравнението има дискриминанта $D = 16 + 4k^2$, която е строго положителна за всяко $k$. Тоест, два различни корена имаме винаги и единствен вариант остава единият от тях да е $x = 3$, тъй като той е изключен от ДС. Тогава обаче, замествайки в уравнението $x = 3$, достигаме до $-k^2 = 0 \Rightarrow k = 0$. Което от четирите възможни стойности за $k$ ни дава две стойности за параметъра, които да удовлетворяват условието: $a = 1$ и $a = -2$. Респективно при тях коренът винаги ще е $x = -1$.

Остава да се изпробва един частен случай, когато съответно още първите два случая в началото ни имат само по един корен, т.е. когато $t_1 = t_2$ и $t_3 = t_4$. И в двата случая това се постига при $a = -\frac{1}{2}$, но в първия за двойното $t_1 = t_2$ получаваме $t = -\frac{3}{2}$, което казахме, че не влиза в изискванията $t \ge 0$, а във втория случай респективно получаваме $t = \frac{3}{2}$. Засега ни устройва, ще го проверим дали случайно няма да излезе само един корен от него.
При $t = \frac{3}{2}$ имаме на практика $k = \frac{3}{2}$
$\Rightarrow x^2 - 2x - 3 - k^2 = 0$
$D = 25$
$x_1 = -\frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{7}{2}$

Което потвърждава горното становище... Каквото и да правим, за да имаме само един корен от финалното квадратно уравнение, ще трябва $k = 0$, защото иначе дискриминантата ни е строго положителна и води неминуемо до два различни корена, нито един от които НЯМА да е $x = 3$ и двата ще влизат в ДС. Или нещо се бъркаме?

[123a]

Ако няма други предложения, по-късно ще пусна решение.

[S.B.]

При а=1,или а=-2 ур-то има само един корен х=-1

Може да пропускам друг случай.

Интересното е, че както и да го въртя или суча, достигам до същото нещо
Заплетена задача, бих искал да споделя своето решение в пълен детайл:

Както казахме, от откат имаме още ДС: $x \ne 3$. Умножаваме подкоренната величина по $\frac{x-3}{x-3}$, вадим знаменателя в модул, полагаме $t = \sqrt{(x-3)(x+1)} \ge 0$ и достигаме до два случая:
I) $t^2 + 3t - (a-1)(a+2) = 0$
II) $t^2 - 3t - (a-1)(a+2) = 0$

Които сумарно ни водят до четири решения, които разглеждаме по надслова на логическото ИЛИ, тоест паралелно, следователно търсим такива стойности, за които и от четирите случая да имаме само едно решение за $x$. А тези случаи са:
I) $t_1 = -a - 2$
II) $t_2 = a - 1$
III) $t_3 = 1 - a$
IV) $t_4 = a + 2$

Нека четирите израза за $a$, които получихме от десните страни, в общия вид приравним на $k$. Тогава реално всеки един от следните случаи в общия си вид би изглеждал така:
$t = k$
$\Rightarrow \sqrt{(x-3)(x+1)} = k$
$\Rightarrow \begin{array}{|l} k \ge 0 \\ (x-3)(x+1) = k^2 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 - k^2 = 0 \end{array}$

Уравнението има дискриминанта $D = 16 + 4k^2$, която е строго положителна за всяко $k$. Тоест, два различни корена имаме винаги и единствен вариант остава единият от тях да е $x = 3$, тъй като той е изключен от ДС. Тогава обаче, замествайки в уравнението $x = 3$, достигаме до $-k^2 = 0 \Rightarrow k = 0$. Което от четирите възможни стойности за $k$ ни дава две стойности за параметъра, които да удовлетворяват условието: $a = 1$ и $a = -2$. Респективно при тях коренът винаги ще е $x = -1$.

Остава да се изпробва един частен случай, когато съответно още първите два случая в началото ни имат само по един корен, т.е. когато $t_1 = t_2$ и $t_3 = t_4$. И в двата случая това се постига при $a = -\frac{1}{2}$, но в първия за двойното $t_1 = t_2$ получаваме $t = -\frac{3}{2}$, което казахме, че не влиза в изискванията $t \ge 0$, а във втория случай респективно получаваме $t = \frac{3}{2}$. Засега ни устройва, ще го проверим дали случайно няма да излезе само един корен от него.
При $t = \frac{3}{2}$ имаме на практика $k = \frac{3}{2}$
$\Rightarrow x^2 - 2x - 3 - k^2 = 0$
$D = 25$
$x_1 = -\frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{7}{2}$

Което потвърждава горното становище... Каквото и да правим, за да имаме само един корен от финалното квадратно уравнение, ще трябва $k = 0$, защото иначе дискриминантата ни е строго положителна и води неминуемо до два различни корена, нито един от които НЯМА да е $x = 3$ и двата ще влизат в ДС. Или нещо се бъркаме?

Прав си!Аз се обърках и -[tex]\frac{3}{2}[/tex] и [tex]\frac{7}{2}[/tex] са корени! Д.М. х [tex]\in[/tex]( - [tex]\infty[/tex],-1][tex]\cup[/tex](3,+[tex]\infty[/tex])

[Davids]

Много правилно! Благодаря, сега вече трябва да е пълно ;Р

[S.B.]

Много правилно! Благодаря, сега вече трябва да е пълно ;Р

Не,не!Аз се обърках!И двата са си корени!

[Davids]

Важното е, че отбеляза съществена концептуална дупка в решението. Сега съм на плажа и не мога да навляза пълноценно в детайли, но съм склонен да си мисля, че това е разковничето и ключовия пропуск по-горе.

[123a]

Решение

Уравнението има смисъл при $x$[tex]\le-1[/tex] и $x>3$

При $x>3$ уравнението придобива вида $(x-3)(x+1)+3.\sqrt{(x-3)(x+1)}=(a-1)(a+2)$

А при $x$[tex]\le-1[/tex]

$(x-3)(x+1)+3.\sqrt{(x-3)(x+1)}=(a-1)(a+2)$ като ще разгледаме двата случая по отделно.

Полагаме $\sqrt{(x-3)(x+1)}=t$

1.При $x>3$ имаме $t^2+3t-(a-1)(a+2)=0$ с корени $t_1=a-1, t_2=-2-a$

1.1 При $t_1=a-1$ имаме $\sqrt{(x-3)(x+1)}=a-1$ $<=>$ $\begin{array}{|l} a-1\ge0 \\ (x-3)(x+1)=(a-1)^2 \end{array}<=>$

$\begin{array}{|l} a\ge1 \\ x=1\pm\sqrt{(a-1)^2+4} \end{array}$ Понеже $x>3$, то решение е само $ x_1=1+\sqrt{(a-1)^2+4}$

Аналогично при $ t_2=-2-a$, ще получим че $x_2=1+\sqrt{(a+2^2+4}$ при $a<-2$

2.При $x$[tex]\le-1[/tex]

$t^2-3t-(a-1)(a+2)=0=>t_1=1-a, t_2=a+2$

При $t_1=1-a$ имаме $\begin{array}{|l}a\le1\\ (x+1)(x-3)=(1-a)^2\end{array}<=>$ $\begin{array}{|l}a\le1 \\ x=1\pm \sqrt{(a-1)^2}+4\end{array}$

Но $x$[tex]\le-1[/tex] $=>x_3=1-\sqrt{(1-a)^2+4}$ при $a\le1 $

Аналогично при $t_2=a+2$ имаме $x_4=1-\sqrt{(a+2)^2+4}$ при $a\ge-2$

Обобщение:

При $a<-2=>x_2,x_3$ са решения

При $-2\le a\le1=>x_3,x_4$ са решения

При $a>1=>x_1,x_4$ са решения

От тези двойки решения могат да съвпадат само $x_3$ и $x_4$, тъй като те са от един случай $x \le-1$, а другите са от различни т.е $x_2>3$,а $x_3\le-1$ и $x_1>3$ , а $x_4\le-1$

Намираме $a\in[-2;1]$, при които $x_3=x_4$

$1-\sqrt{(1-a)^2+4}=1-\sqrt{(a+2)^2+4}=>(a-1)^2=(a+2)^2=>a=-\frac{1}{2}=>x=-\frac{3}{2}$

Окончателно:

При $a<-2$ решения са $x=1-\sqrt{(a-1)^2+4}$ и $x=1+\sqrt{(a+2)^2+4}$

При $a\in[-2;-\frac{1}{2})$ решения са $x=1-\sqrt{(a-1)^2+4}$ и $x=1-\sqrt{(a+2)^2+4}$

При $a=-\frac{1}{2}$ решение е $x=-\frac{3}{2}$

При $a\in(-\frac{1}{2};1]$ решения са $x=1-\sqrt{(a-1)^2+4}$ и $x=1-\sqrt{(a+2)^2+4}$

При $a>1$ решения са $x=1+\sqrt{(a-1)^2+4}$ и $x=1-\sqrt{(a+2)^2+4}$