Задача 15 от КСК - Математика 1 на СУ - 09 юни 2018

[Claudia]

Условието на задача 15 (както може да се види на адрес: https://www.fmi.uni-sofia.bg/bg/sample-exams-view) е:

Броят на начините, по които 8 ученици могат да бъдат разделени на два отбора от по 4, е равен на:
А) 2 Б) 28 В) 35 Г) 70

За верен е посочен отговор Г.

Имам резерви по следните причини. Начините, по които от 8 ученици могат да се изберат 4, са комбинация на 8 елемента от 4 клас, което е (8!)/(4!) =70. При всеки избор на 4 ученици (нека те са номерирани от 1 до 8), напр. номера 1, 2, 5 и 7 можем да разсъждаваме, че те формират единия отбор, а оставащите ученици - 3, 4, 6 и 8 - другия. На пръв поглед можем да решим, че на горните 70 комбинации отговарят 70 различни двойки отбори. Това, обаче, не е така, тъй като на избора на четворката числа 1, 2, 5 и 7 и на четворката числа 3, 4, 6 и 8 ще отговаря една и съща двойка отбори. Така броят ще бъде двойно надценен и верният отговор би трябвало да е горната комбинация, разделена на 2, т.е. 70/2 = 35 - отговор В.

Надявам се на повече мнения, тъй като сигурно вече проверяват решенията на кандидатите.

[aifC]

Г) Ми се струва верния отговор, освен ако не е посочено нещо допълнително.

[123a]

Г) е верният отговор.

За първият отбор от 4 човека, от 8 души могат да се изберат 4 по $C_{8}^4$ начина. Вторият отбор се сформира от останалите 4 човека по един единствен начин т.е. $C_{4}^4$

И така: $C_{8}^4$.$C_{4}^4=70.1=70$

[Davids]

Това, което е отбелязала Клаудия обаче, е напълно логично. Нека по същата логика разгледаме по колко начина можем да разпределим не 8, а 2-ма ученици в отбори по един. Следвайки това, което сте писали досега, би трябвало да са два начина. Обаче начинът просто да ги разделим на два отбора е един, ако приемем, че няма значение кой е първият и кой - вторият отбор. До това опира и разногласието по самата задача - ако няма значение кой отбор е първи и кой втори (т.е. отборите '1', '2' и '2', '1' са едно и също „разделение на два отбора“), то значи начините са 35, а ако има - то тогава са 70. Проблемът е, че това не е доизяснено изрично. Аз съм на мнение, че при така зададено условие, кандидат-студентката има напълно право и отговорът е редно да е 35. Ще се радвам на мнения по въпроса.

[inveidar]

Условието на задача 15 (както може да се види на адрес: https://www.fmi.uni-sofia.bg/bg/sample-exams-view) е:

Броят на начините, по които 8 ученици могат да бъдат разделени на два отбора от по 4, е равен на:
А) 2 Б) 28 В) 35 Г) 70

За верен е посочен отговор Г.

Имам резерви по следните причини. Начините, по които от 8 ученици могат да се изберат 4, са комбинация на 8 елемента от 4 клас, което е (8!)/(4!) =70. При всеки избор на 4 ученици (нека те са номерирани от 1 до 8), напр. номера 1, 2, 5 и 7 можем да разсъждаваме, че те формират единия отбор, а оставащите ученици - 3, 4, 6 и 8 - другия. На пръв поглед можем да решим, че на горните 70 комбинации отговарят 70 различни двойки отбори. Това, обаче, не е така, тъй като на избора на четворката числа 1, 2, 5 и 7 и на четворката числа 3, 4, 6 и 8 ще отговаря една и съща двойка отбори. Така броят ще бъде двойно надценен и верният отговор би трябвало да е горната комбинация, разделена на 2, т.е. 70/2 = 35 - отговор В.

Надявам се на повече мнения, тъй като сигурно вече проверяват решенията на кандидатите.

Абсолютно права си! Според мен.

[123a]

Това, което е отбелязала Клаудия обаче, е напълно логично. Нека по същата логика разгледаме по колко начина можем да разпределим не 8, а 2-ма ученици в отбори по един. Следвайки това, което сте писали досега, би трябвало да са два начина. Обаче начинът просто да ги разделим на два отбора е един, ако приемем, че няма значение кой е първият и кой - вторият отбор. До това опира и разногласието по самата задача - ако няма значение кой отбор е първи и кой втори (т.е. отборите '1', '2' и '2', '1' са едно и също „разделение на два отбора“), то значи начините са 35, а ако има - то тогава са 70. Проблемът е, че това не е доизяснено изрично. Аз съм на мнение, че при така зададено условие, кандидат-студентката има напълно право и отговорът е редно да е 35. Ще се радвам на мнения по въпроса.

По тази логика не може ли и 8 човека да се разделят в два отбора от 4 човека по 1 начин - 4 в отбор А и 4 в отбор Б? Един отбор от 4 човека може да се избере от 8 човека по 70 начина. А останалите 4 така или иначе ще са в един отбор, така че за тях има само 1 начин. Това е моята логика.

[inveidar]

По тази логика не може ли и 8 човека да се разделят в два отбора от 4 човека по 1 начин - 4 в отбор А и 4 в отбор Б? Един отбор от 4 човека може да се избере от 8 човека по 70 начина. А останалите 4 така или иначе ще са в един отбор, така че за тях има само 1 начин. Това е моята логика.

Четири човека А, Б, В и Г можем да разделим, по твоята логика, на два отбора по двама така:
АБ - ВГ
АВ - БГ
АГ - БВ
БВ - АГ
БГ - АВ
ВГ - АБ
Да забелязваш, че се повтарят?

[123a]

По тази логика не може ли и 8 човека да се разделят в два отбора от 4 човека по 1 начин - 4 в отбор А и 4 в отбор Б? Един отбор от 4 човека може да се избере от 8 човека по 70 начина. А останалите 4 така или иначе ще са в един отбор, така че за тях има само 1 начин. Това е моята логика.

Четири човека А, Б, В и Г можем да разделим, по твоята логика, на два отбора по двама така:
АБ - ВГ
АВ - БГ
АГ - БВ
БВ - АГ
БГ - АВ
ВГ - АБ
Да забелязваш, че се повтарят?

Да, повтарят се, но в единия случай, да кажем, АБ са в отбор 1, а в другия в отбор 2.

А може би условието не е зададено коректно. И в двата случая няма грешка в логиката ни. Явно в условието трябваше да се спомене дали отборите се различават само по състава си, или зависят от номера и др.

[Genie_Almo]

Разбирам задачата така: По колко начина от 8-елементна група могат да се съставят две 4-елементни подгрупи.
Ами 35 са начините. Ако има допълнителни условности, трябва да се уточнят в задачата. Иначе все едно да кажем, че квадратното уравнение $x^2=1$ има две двойки решения, в зависимост от това кой корен ще наречем първи - (-1;1) и (1;-1). Ако в условието са дадени някакви имена на отборите, бих приел, че има някаква уловка.

[aifC]

Ми да бяха казали че има повече от един верен отговор.

[inveidar]

Ако бяха казали - два отбора, син и червен, примерно, гербаджии и бесепари, то отговорът би бил Г). Но явно те така са свикнали в България, като кажат два отбора, то те трябва да са непременно различими по някакъв допълнителен белег. Лоша работа.

[Kre4etalo]

Говорено е със съотвените лица. Чакаме да видим какво ще се предприеме.

[Claudia]

Още преди да пусна темата мнението ми беше, че условието е некоректно. Ако отборите са обозначени по някакъв начин, отговорът е [tex]C^{4}_{8 }[/tex] (отговор Г), в противен случай [tex]C^{4}_{8 }/2[/tex] (отговор В). Тъй като в условието и дума няма за някакво наименоване на отборите, презумпцията е, че те не са обозначени и верният отговор трябва да е В. Благодаря Ви за мненията! Като възможен изход от ситуацията виждам признаване на отговори В) и Г) за верни. Така няма да бъдат ощетени кандидати, решили вярно задачата и подведени от нееднозначното условие, както и няма да бъдат дадени точки на кандидати, дали категорично грешен отговор. Какво мислите?

Говорено е със съотвените лица. Чакаме да видим какво ще се предприеме.

Какво точно имате предвид, с кого е говорено? Лошото е, че трябва да се действа бързо, ако искаме разсъжденията ни да имат ефект върху оценяването. Все пак задачата е от конкурсен изпит, при това във висшето учебно заведение с най-висок рейтинг в България.