Геометрична задача ТУ кандидат-студентски изпит

[nutb0ll]

Помощ за тази

Даден е правоъгълен [tex]\triangle ABC[/tex] с катети [tex]AC = 2cm[/tex] и [tex]BC =1cm[/tex] .Хипотенузата му служи за катет на равнобедрен правоъгълен [tex]\triangle ABD[/tex] [tex](AB \bot BD)[/tex], като точките [tex]C[/tex] и [tex]D[/tex] са от различни страни на [tex]AB[/tex]. Ако [tex]BM[/tex] е медиана в [tex]\triangle ABD[/tex], намерете дължината на отсечката [tex]CM[/tex] .

отг:[tex]\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex]

[ева]

Не зная как се нарича тази формула,която ще ползвам.Тя важи за произволен четириъгълник.Дава връзка м/у страните и диагоналите му.
Тук четириъг.е АМВС.
В нашия случай ще изглежда така:
АВ.СМ=АМ.ВС+АС.ВМ

[ева]

Опа ! Сгрешила съм.
Тази връзка м/у страните и диагоналите важи за всеки висан в окр-т четитиъгълник .(не за произволен)
Нарича се теорема на Птолемей. Аз не си спомням в кой клас се учи.
В нашата задача можем да я приложим,защото АМВС е четириъгълник,който е вписан в окръжност.
Отговорът е верен.

[123a]

По Питагорова теорема намираме, че $AB=\sqrt{5}$.

Понеже $BM$ е и височина, и медиана в равнобедрения правоъгълен $\triangle$$ABD$ $=>$[tex]\angle[/tex]$BMA=90=>$ около $AMBC$ може да се опише окръжност с диаметър $AB$.

Нека $\angle$$BAC=\alpha=>sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}=>cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Тогава от Синусова теорема имаме $ \frac{MC}{sin\angle(MAC)}=2R=>\frac{MC}{sin(45+\alpha)}=AB=>MC=\sqrt{5}.\frac{3\sqrt{10}}{10}=>MC=\frac{3\sqrt{2}}{2}$