Конкурсен изпит 1986 г. зад.3

[S.B.]

В триъгълна пирамида ABCD (ABC - oснова,т.D - върха) ,ръбовете AD и BC имат дължини съответно a и b и сключват помежду си ъгъл с големина [tex]\varphi[/tex].През произволна вътрешна точка M от ръба AB е прекарана равнина,успоредна на ръбовете AD и BC.
a)Да се докаже,че полученото сечение на пирамидата е успоредник,чието лице S удовлетворява неравенството :
S[tex]\le[/tex] [tex]\frac{ab}{4}[/tex]sin[tex]\varphi[/tex].При кое положение на т.M се достига равенство?
б)Да се докаже,че т.M може да се избере така,че сечението да бъде ромб.

[Davids]

$AD$ и $BC$ не се пресичат изобщо... и тук ми убягва дефиницията на ъгъла, който сключват помежду си. Сори, ако е тъп въпрос, ама учим се Или някой друг ръб се има предвид?

[S.B.]

$AD$ и $BC$ не се пресичат изобщо... и тук ми убягва дефиницията на ъгъла, който сключват помежду си. Сори, ако е тъп въпрос, ама учим се Или някой друг ръб се има предвид?

Да,така е.АD и BC не се пресичат.Те са кръстосани прави.Тук става дума за ъгъл между кръстосани прави.Мисля,че това ще го учиш в 12 клас.Въпросът ти не е тъп!

[inveidar]

Това се учи в 11-ти клас!

[S.B.]

Ъгъл между две кръстосани прави е ъгълът между две пресичащи се прави съответно успоредни на двете кръстосани прави

[S.B.]

Това се учи в 11-ти клас!

Може би в училищата с профилирана подготовка.В масовите училища за съжаление стереометрията се учи през първия срок на 12 клас Аз не знам Davids в какво училище учи.

[Davids]

Може би в училищата с профилирана подготовка.В масовите училища за съжаление стереометрията се учи през първия срок на 12 клас Аз не знам Davids в какво училище учи.

Езикова гимназия, 11. клас малко е назадничава училищната програма при нас, що се отнася до математика, та аз затова съм се впуснал в извънучилищни приключения
Иначе просто щракнах в гугъл какво е ъгъл между две кръстосани прави и вече знам. Сега се заемаме със задачата!

[inveidar]

Ъгъл между две кръстосани прави е ъгълът между две пресичащи се прави съответно успоредни на двете кръстосани прави

Може едната от пресичащите се прави да съвпада с някоя от дадените прави, т.е можеш да вземеш точка от едната от двете кръстосани прави и да построиш през нея успоредна на другата права.

[S.B.]

Ъгъл между две кръстосани прави е ъгълът между две пресичащи се прави съответно успоредни на двете кръстосани прави

Може едната от пресичащите се прави да съвпада с някоя от дадените прави, т.е можеш да вземеш точка от едната от двете кръстосани прави и да построиш през нея успоредна на другата права.

Да така е.Важното е една от правите и успоредна на другата да бъдат "поставени" в една и съща равнина (ако мога така да се изразя)Определението съм цитирала точно от учебника за профилирана подготовка на "Анубис"Предполагам,че е дадено от Чавдар Лозанов,защото от екипа (П.Недевски,Т.Витанов и Ч.Лозанов) единствен Чавдар Лозанов се занимава с геометрия.

[Nathi123]

Построяваме права МР ||AD в (A,B,D); PQ||BC в (B,C,D); QR|| AD в (A,C,D) [tex]\Rightarrow (M,P,Q) || AD и BC\Rightarrow MR||BC \Rightarrow MR||PQ;MP||QR \Rightarrow MRQP[/tex] e успоредник.
[tex]\Rightarrow \angle PMR=\angle (AD,BC) = \varphi \Rightarrow S=MP.MRsin\varphi ; \frac{MP}{AD}=\frac{MB}{AD}\Rightarrow MP=a.\frac{MB}{AB}[/tex]
[tex]\frac{MR}{BC}=\frac{AM}{AB}\Rightarrow MR=b.\frac{AM}{AB}=b.(1-\frac{MB}{AB}) ; AM=AB-MB;[/tex] Нека [tex]\frac{MB}{AB}=x\Rightarrow x\in (0,1)[/tex]
[tex]\Rightarrow S=ab.x(1-x).sin\varphi[/tex] . От неравенството между средно аритм. и средно геом. [tex]\Rightarrow x(1-x)\le (\frac{x+1-x}{2})^{2}\le\frac{1}{4}[/tex]
като равенство се достига [tex]\Leftrightarrow x = 1-x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow S\le\frac{ab}{4}sin\varphi[/tex] като равенство се достига ,
тогава и само тогава ,когато т. М е среда на АВ.
б) МРQR е ромб [tex]\Leftrightarrow MP=MR\Leftrightarrow ax=b(1-x)\Leftrightarrow x=\frac{b}{a+b}[/tex].