Конкурсен изпит 1984г.зад.2 (технически вузове)

[S.B.]

Нека [tex]\alpha[/tex],[tex]\beta[/tex] и [tex]\gamma[/tex] са мерните числа на ъглите в един триъгълник.Да се докаже,че:
а)cos2[tex]\alpha[/tex] + cos2[tex]\beta[/tex] + cos2[tex]\gamma[/tex] = - 4.cos[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\beta[/tex].cos[tex]\gamma[/tex] - 1;
б)cos2m[tex]\alpha[/tex] + cos2m[tex]\beta[/tex] + cos2m[tex]\gamma[/tex] = [tex](-1)^{m}[/tex].4.cosm[tex]\alpha[/tex].cosm[tex]\beta[/tex].cosm[tex]\gamma[/tex] - 1,
където m е произволно естествено число.

[KOPMOPAH]

Хубава задачка, много приличаща на една, решавана наскоро.

Чудя се:
1. Защо не е формулирано само второто подусловие, защото първото е частен случай на второто. Отговарям си сам на чуденето, поправете ме - за да могат някои кандидат студенти, решили само първото подусловие и запецнали на второто, да получат все пак някакви точки.
2. Дали задачата е решима ако $m$ е цяло, а не естествено число - мисля, че да Ще проверя, като се поосвободя.

[S.B.]

Хубава задачка, много приличаща на една, решавана наскоро.

Чудя се:
1. Защо не е формулирано само второто подусловие, защото първото е частен случай на второто. Отговарям си сам на чуденето, поправете ме - за да могат някои кандидат студенти, решили само първото подусловие и запецнали на второто, да получат все пак някакви точки.
2. Дали задачата е решима ако $m$ е цяло, а не естествено число - мисля, че да Ще проверя, като се поосвободя.

Да,задачата не е избрана случайно,а във връзка с "онази" задача,над която доста време се мъчих.Тогава се сетих,че съм срещала нещо подобно (имах предвид подусловие б)),издирих го и ето го пред вас!
Наистина подусловие а) е частен случай на б) - когато m=1, но в "онази" задача,m=[tex]\frac{1}{2}[/tex] и явно не става!Колкото до възможността m да бъде "цяло",а не "естествено" - не бях се сетила!Оставям на КОРМОРАН да провери това!

[KOPMOPAH]

Продължаваме да разсъждаваме по темата:

Aко $$\cos 2m \alpha + \cos 2m \beta + \cos 2m \gamma = (-1)^m.4.\cos m \alpha.\cos m \beta.\cos m \gamma - 1$$ явно $$\cos (-2m \alpha) + \cos (-2m \beta) + \cos (-2m \gamma) = (-1)^{-m}.4.\cos (-m \alpha).\cos (-m \beta).\cos (-m \gamma) - 1$$ защото косинусът е четна функция и знакът на аргумента е без значение. В крайна сметка, ако твърдението е вярно за $m$, то е вярно и за $-m$.

За да приключим с целите числа, при $m=0$ получаваме безспорното $$\cos 0 + \cos 0 + \cos 0 = (-1)^0.4.\cos 0\cos 0\cos 0-1$$ $$3=3$$ както завърши на 15 юни мачът Португалия - Испания

Остава единствено дреболията да се докаже, че $$\cos 2m \alpha + \cos 2m \beta + \cos 2m \gamma = (-1)^m.4.\cos m \alpha.\cos m \beta.\cos m \gamma - 1$$ но мястото тук е твърде малко, за да го докажа

P.S. И пак стигаме до темата за необходимостта от коректно и без излишъци формулиране на задачата. Някой шегаджия - съставител би могъл да зададе $m=2018$ или $m=65535$. Фактът че $m$ е произволно ЕСТЕСТВЕНО, а не ЦЯЛО число, по никакъв начин не променя начина на решаване.

[ева]

а) Реших я като развих лявата страна,развих дясната страна и получих един и същ израз.
Няма да отнемам удоволствието на бъдещите студенти да я решат.

[S.B.]

Благодаря на КОРМОРАН! През 1984 аз нямах нищо общо с кандидат студентите - отдавна бях завършила,програмирах на PL/I та ушите ми пукаха, а децата ми бяха на 3 и 11 години - далеч от кандидат студентите.И все пак ако бях на изпит как бих процедирала?Първо щях да реша подусловие б),а после щях да заместя m=1:
[tex]\alpha[/tex] + [tex]\beta[/tex] + [tex]\gamma[/tex] = [tex]\pi[/tex]
cos2m[tex]\alpha[/tex] + cos2m[tex]\beta[/tex] + cos2m[tex]\gamma[/tex] = (cos2m[tex]\alpha[/tex] + cos2m[tex]\beta[/tex]) + cos2m([tex]\pi[/tex] -([tex]\alpha[/tex] + [tex]\beta[/tex])) =
= 2cosm([tex]\alpha[/tex] + [tex]\beta[/tex]).cosm([tex]\alpha[/tex] - [tex]\beta[/tex]) + cos(2m[tex]\pi[/tex] - 2m([tex]\alpha[/tex] + [tex]\beta[/tex])= 2cosm([tex]\alpha[/tex] + [tex]\beta[/tex]).cosm([tex]\alpha[/tex] - [tex]\beta[/tex]) + cos2m([tex]\alpha[/tex] + [tex]\beta[/tex]) =
= 2cosm([tex]\alpha[/tex] + [tex]\beta[/tex])cosm([tex]\alpha[/tex] - [tex]\beta[/tex]) + 2[tex]cos^{2}[/tex]m([tex]\alpha[/tex] + [tex]\beta[/tex]) - 1 = 2cosm([tex]\alpha[/tex] + [tex]\beta[/tex])(cosm([tex]\alpha[/tex] - [tex]\beta[/tex]) + cosm([tex]\alpha[/tex] + [tex]\beta[/tex])) - 1 =
= 4cosm([tex]\alpha[/tex] + [tex]\beta[/tex])cosm[tex]\alpha[/tex]cosm[tex]\beta[/tex] - 1 = [tex](-1)^{m}[/tex].4.cosm[tex]\gamma[/tex]cosm[tex]\alpha[/tex]cosm[tex]\beta[/tex] - 1,
защото:
cosm([tex]\alpha[/tex] + [tex]\beta[/tex]) = cosm([tex]\pi[/tex] - [tex]\gamma[/tex]) = cosm[tex]\pi[/tex].cosm[tex]\gamma[/tex] - sinm[tex]\pi[/tex].sinm[tex]\gamma[/tex] = [tex](-1)^{m}[/tex]cosm[tex]\gamma[/tex]
За m=1: cos2[tex]\alpha[/tex] + cos2[tex]\beta[/tex] + cos2[tex]\gamma[/tex] = 4cos[tex]\alpha[/tex]cos[tex]\beta[/tex]cos[tex]\gamma[/tex] - 1