Задача от математика 1 в СУ от 9.06.2018

[nenam]

Търся помощ за решаването на Задача 17 от кандидат-студентски изпит по математика 1 в СУ от 9.06.2018 г. Условието е:
Зад. 17: В неравнобедрен правоъгълен триъгълник дължините на катетите, хипотенузата и ъглополовящата на правия ъгъл са равни на a, b, c и l, съответно. Тогава:
А) 2l < c; Б) 2l = c; В) 2l > c; Г) 2l = a + b.
Как се доказва, че отговор А) е верен?

[KOPMOPAH]

Ако е казано ясно, че САМО ЕДИН отговор е верен

При стандартни означения $CL$ е ъглополовяща, $CM$ е медиана, а $CH$ - височина. Ъглополовящата винаги е разположена между височината и медианата - основна задача. Значи $CL=l$ е вътрешна за $\triangle MCB$, откъдето $l<CM=\frac c2 \Rightarrow 2l<2$ - отговор А)

Отговор Б) е допустим само при равнобедрен правоъгълен триъгълник, доколкото там тя съвпада с медианата

[Knowledge Greedy]

[tex]2l-c=\frac{2\sqrt{2}ab}{a+b}-\sqrt{a^2+b^2}=\frac{8}{a+b}\left ( ab-\frac{a+b}{2}\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \right )[/tex]
Изразът в скобите е [tex]\sqrt{ab}\sqrt{ab}-\frac{a+b}{2}\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\le 0[/tex],
защото е получен от почленното произведение на неравенствата СГ-СА и СГ-СКв
[tex]\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}[/tex]
и
[tex]\sqrt{ab}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}[/tex]
Да обърнем внимание на факта, че равенството е възможно само при [tex]a=b[/tex], което в случая е забранено в условието на задачата, следователно [tex]2l<c[/tex].